Упр.28.22 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.22. Существуют ли такие натуральные числа n и к, что значение выражения 5^n+1 кратно значению выражения 5^k-1?

Рассмотрим числа $$5^n+1$$ и $$5^k-1$$.

Так как $$5 \equiv 1 \pmod 4,$$ то при любом натуральном $$n$$ имеем

$$5^n \equiv 1 \pmod 4,$$

следовательно,

$$5^n+1 \equiv 2 \pmod 4.$$

Значит, число $$5^n+1$$ не делится на $$4$$.

С другой стороны, при любом натуральном $$k$$

$$5^k \equiv 1 \pmod 4,$$

поэтому

$$5^k-1 \equiv 0 \pmod 4.$$

То есть число $$5^k-1$$ делится на $$4$$.

Если бы $$5^n+1$$ делилось на $$5^k-1,$$ то оно должно было бы делиться и на $$4$$, так как делитель $$5^k-1$$ кратен $$4$$. Но это невозможно, поскольку $$5^n+1$$ на $$4$$ не делится.

Следовательно, таких натуральных чисел $$n$$ и $$k$$ не существует.

Ответ

Нет.