Упр.28.212 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.212. Упростите выражение (v(x+4v(x-4))+v(x-4v(x-4)))/v(1-8/x+16/x^2).

Преобразуем выражение:

$$
\frac{\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}}{\sqrt{1-\frac{8}{x}+\frac{16}{x^2}}}
$$

Заметим, что

$$
x+4\sqrt{x-4}=4+4\sqrt{x-4}+(x-4)=(2+\sqrt{x-4})^2,
$$
$$
x-4\sqrt{x-4}=4-4\sqrt{x-4}+(x-4)=(2-\sqrt{x-4})^2.
$$

Тогда числитель равен

$$
\sqrt{(2+\sqrt{x-4})^2}+\sqrt{(2-\sqrt{x-4})^2}
=|2+\sqrt{x-4}|+|2-\sqrt{x-4}|.
$$

Знаменатель:

$$
\sqrt{1-\frac{8}{x}+\frac{16}{x^2}}
=\sqrt{\frac{x^2-8x+16}{x^2}}
=\frac{|x-4|}{|x|}.
$$

Следовательно,

$$
\frac{\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}}{\sqrt{1-\frac{8}{x}+\frac{16}{x^2}}}
=
\frac{|x|\bigl(|2+\sqrt{x-4}|+|2-\sqrt{x-4}|\bigr)}{|x-4|}.
$$

Так как $x\ge 4$, то $|2+\sqrt{x-4}|=2+\sqrt{x-4}$. Дальше рассмотрим два случая.

1. Если $4<x<8$, то $2-\sqrt{x-4}>0$, значит

   $$
   |2-\sqrt{x-4}|=2-\sqrt{x-4}.
   $$

   Тогда

   $$
   \frac{x\bigl(2+\sqrt{x-4}+2-\sqrt{x-4}\bigr)}{x-4}
   =\frac{4x}{x-4}.
   $$

2. Если $x\ge 8$, то $2-\sqrt{x-4}\le 0$, значит

   $$
   |2-\sqrt{x-4}|=\sqrt{x-4}-2.
   $$

   Тогда

   $$
   \frac{x\bigl(2+\sqrt{x-4}+\sqrt{x-4}-2\bigr)}{x-4}
   =\frac{2x\sqrt{x-4}}{x-4}
   =\frac{2x}{\sqrt{x-4}}.
   $$

Ответ

$$
\frac{\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}}{\sqrt{1-\frac{8}{x}+\frac{16}{x^2}}}
=
\begin{cases}
\dfrac{4x}{x-4}, & 4<x<8,\\[6pt]
\dfrac{2x}{\sqrt{x-4}}, & x\ge 8.
\end{cases}
$$