Упр.28.211 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.211. Упростите выражение v((a-2v(a-1))/(a+2v(a-1)))+v((a+2v(a-1))/(a-2v(a-1)))-4/v(a^2-4a+4).

Преобразуем выражение:

$$
\sqrt{\frac{a-2\sqrt{a-1}}{a+2\sqrt{a-1}}}
+\sqrt{\frac{a+2\sqrt{a-1}}{a-2\sqrt{a-1}}}
-\frac{4}{\sqrt{a^2-4a+4}}
$$

Заметим, что

$$
a^2-4a+4=(a-2)^2.
$$

Тогда

$$
\sqrt{\frac{a-2\sqrt{a-1}}{a+2\sqrt{a-1}}}
=\frac{\sqrt{(a-2\sqrt{a-1})^2}}{\sqrt{a^2-4(a-1)}},
$$
$$
\sqrt{\frac{a+2\sqrt{a-1}}{a-2\sqrt{a-1}}}
=\frac{\sqrt{(a+2\sqrt{a-1})^2}}{\sqrt{a^2-4(a-1)}}.
$$

Сложим первые два слагаемых:

$$
\frac{(a-2\sqrt{a-1})+(a+2\sqrt{a-1})}{\sqrt{a^2-4a+4}}
-\frac{4}{\sqrt{(a-2)^2}}
=
\frac{2a-4}{\sqrt{(a-2)^2}}.
$$

Так как $$\sqrt{(a-2)^2}=|a-2|,$$ получаем

$$
\frac{2a-4}{|a-2|}=\frac{2(a-2)}{|a-2|}.
$$

Теперь рассмотрим возможные случаи:

• если $$a>2,$$ то $$|a-2|=a-2,$$ значит
  $$
  \frac{2(a-2)}{a-2}=2;
  $$
• если $$1\le a<2,$$ то $$|a-2|=2-a,$$ значит
  $$
  \frac{2(a-2)}{2-a}=-2.
  $$

Ответ

если $$a>2,$$ то $$2$$; если $$1\le a<2,$$ то $$-2$$.