Упр.28.210 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.210. Упростите выражение (b^2-3b-(b-1)v(b^2-4)+2)/(b^2+3b-(b+1)v(b^2-4)+2) v((b+2)/(b-2)) при b > 2.

Так как $$b>2,$$ то $$\sqrt{b^2-4}=\sqrt{(b-2)(b+2)}.$$

Преобразуем выражение:

$$
\frac{b^2-3b-(b-1)\sqrt{b^2-4}+2}{b^2+3b-(b+1)\sqrt{b^2-4}+2}\cdot \sqrt{\frac{b+2}{b-2}}
$$

Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе:

$$
\frac{b(b-1)-(b-1)\sqrt{b^2-4}-2(b-1)}{b(b+1)-(b+1)\sqrt{b^2-4}+2(b+1)}\cdot \sqrt{\frac{b+2}{b-2}}
$$

Вынесем общие множители:

$$
\frac{(b-1)\bigl(b-\sqrt{b^2-4}-2\bigr)}{(b+1)\bigl(b-\sqrt{b^2-4}+2\bigr)}\cdot \sqrt{\frac{b+2}{b-2}}
$$

Преобразуем выражения в скобках:

$$
b-\sqrt{b^2-4}-2
= b-2-\sqrt{(b-2)(b+2)}
= \sqrt{b-2}\bigl(\sqrt{b-2}-\sqrt{b+2}\bigr),
$$

$$
b-\sqrt{b^2-4}+2
= b+2-\sqrt{(b-2)(b+2)}
= \sqrt{b+2}\bigl(\sqrt{b+2}-\sqrt{b-2}\bigr).
$$

Тогда

$$
\frac{(b-1)\sqrt{b-2}\bigl(\sqrt{b-2}-\sqrt{b+2}\bigr)}{(b+1)\sqrt{b+2}\bigl(\sqrt{b+2}-\sqrt{b-2}\bigr)}\cdot \sqrt{\frac{b+2}{b-2}}.
$$

Так как $$\sqrt{b-2}-\sqrt{b+2}=-(\sqrt{b+2}-\sqrt{b-2}),$$ получаем

$$
-\frac{b-1}{b+1}\cdot \frac{\sqrt{b-2}}{\sqrt{b+2}}\cdot \sqrt{\frac{b+2}{b-2}}
=
-\frac{b-1}{b+1}.
$$

Ответ

$$\frac{1-b}{b+1}$$