Упр.28.209 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.209. Упростите выражение (1+(a+v(a^2-1))^2 (b+v(b^2-1)^2)/((a+v(a^2-1))(b+v(b^2-1))).

Преобразуем выражение:

$$
\frac{1+(a+\sqrt{a^2-1})^2(b+\sqrt{b^2-1})^2}{(a+\sqrt{a^2-1})(b+\sqrt{b^2-1})}
$$

Представим числитель как сумму двух слагаемых и воспользуемся формулой разности квадратов:

$$
1=(a-\sqrt{a^2-1})(a+\sqrt{a^2-1})=(b-\sqrt{b^2-1})(b+\sqrt{b^2-1})
$$

Тогда

$$
\frac{1+(a+\sqrt{a^2-1})^2(b+\sqrt{b^2-1})^2}{(a+\sqrt{a^2-1})(b+\sqrt{b^2-1})}
$$

$$
=
\frac{(a-\sqrt{a^2-1})(b-\sqrt{b^2-1})+(a+\sqrt{a^2-1})(b+\sqrt{b^2-1})}{(a+\sqrt{a^2-1})(b+\sqrt{b^2-1})}
$$

Раскроем скобки в числителе:

$$
(a-\sqrt{a^2-1})(b-\sqrt{b^2-1})+(a+\sqrt{a^2-1})(b+\sqrt{b^2-1})
$$

$$
=2ab+2\sqrt{a^2-1}\sqrt{b^2-1}.
$$

Знаменатель равен

$$
(a+\sqrt{a^2-1})(b+\sqrt{b^2-1})=1\cdot 1=1.
$$

Следовательно,

$$
\frac{2ab+2\sqrt{a^2-1}\sqrt{b^2-1}}{1}
=2\left(ab+\sqrt{a^2-1}\sqrt{b^2-1}\right).
$$

Ответ

$$2\left(ab+\sqrt{a^2-1}\sqrt{b^2-1}\right)$$