Упр.28.208 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.208. Упростите выражение (a+b)/(va+vb) : ((a+b)/(a-b)-b/(b-v(ab))+a/(v(ab)+a))-v(a+b-2v(ab))/2.

Преобразуем выражение:

$$
\frac{a+b}{\sqrt a+\sqrt b}:\left(\frac{a+b}{a-b}-\frac{b}{b-\sqrt{ab}}+\frac{a}{\sqrt{ab}+a}\right)-\frac{\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}}{2}.
$$

Заметим, что

$$
a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt a-\sqrt b)^2,
$$
поэтому

$$
\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=|\sqrt a-\sqrt b|.
$$

Упростим выражение в скобках:

$$
\frac{a+b}{a-b}-\frac{b}{b-\sqrt{ab}}+\frac{a}{\sqrt{ab}+a}
=
\frac{a+b}{a-b}-\frac{\sqrt b}{\sqrt b-\sqrt a}+\frac{\sqrt a}{\sqrt a+\sqrt b}.
$$

Приведём к общему знаменателю и используем разложение

$$
a-b=(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b).
$$

После преобразований получаем:

$$
\frac{a+b}{\sqrt a+\sqrt b}:\left(\frac{a+b}{a-b}-\frac{b}{b-\sqrt{ab}}+\frac{a}{\sqrt{ab}+a}\right)
=
\frac{\sqrt a-\sqrt b}{2}.
$$

Тогда всё выражение равно

$$
\frac{\sqrt a-\sqrt b}{2}-\frac{|\sqrt a-\sqrt b|}{2}
=
\frac{\sqrt a-\sqrt b-|\sqrt a-\sqrt b|}{2}.
$$

Рассмотрим два случая.

1. Если $$0<b<a,$$ то $$\sqrt a-\sqrt b>0,$$ значит

   $$
   |\sqrt a-\sqrt b|=\sqrt a-\sqrt b.
   $$

   Следовательно,

   $$
   \frac{\sqrt a-\sqrt b-(\sqrt a-\sqrt b)}{2}=0.
   $$

2. Если $$0<a<b,$$ то $$\sqrt a-\sqrt b<0,$$ значит

   $$
   |\sqrt a-\sqrt b|=\sqrt b-\sqrt a.
   $$

   Тогда

   $$
   \frac{\sqrt a-\sqrt b-(\sqrt b-\sqrt a)}{2}=\sqrt a-\sqrt b.
   $$

Ответ

если $$0<b<a,$$ то $$0;$$ если $$0<a<b,$$ то $$\sqrt a-\sqrt b.$$