Упр.28.207 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.207. Упростите выражение (v(b^2-2b+1)/b+bv(b^2-2b+1)+2-2/b)/v(b-2+1/b), если 0 < b < 1.

Так как $$0<b<1,$$ то $$b-1<0,$$ значит

$$\sqrt{(b-1)^2}=1-b.$$

Преобразуем выражение:

$$
\frac{\dfrac{\sqrt{b^2-2b+1}}{b}+b\sqrt{b^2-2b+1}+2-\dfrac{2}{b}}
{\sqrt{b-2+\dfrac{1}{b}}}
=
\frac{\dfrac{\sqrt{(b-1)^2}}{b}+b\sqrt{(b-1)^2}+2-\dfrac{2}{b}}
{\sqrt{\dfrac{b^2-2b+1}{b}}}.
$$

Тогда

$$
\frac{\dfrac{1-b}{b}+b(1-b)+2-\dfrac{2}{b}}
{\sqrt{\dfrac{(b-1)^2}{b}}}
=
\frac{\dfrac{1-b}{b}+b(1-b)+\dfrac{2b-2}{b}}
{\dfrac{1-b}{\sqrt{b}}}.
$$

Соберём числитель:

$$
\dfrac{1-b}{b}+b(1-b)+\dfrac{2b-2}{b}
=
\dfrac{1-b+2b-2}{b}+b(1-b)
=
\dfrac{b-1}{b}+b(1-b).
$$

Вынесем общий множитель $$1-b$$:

$$
\dfrac{b-1}{b}+b(1-b)
=
-(1-b)\left(\dfrac{1}{b}-b\right)
=
(1-b)\left(b-\dfrac{1}{b}\right).
$$

Тогда

$$
\frac{(1-b)\left(b-\dfrac{1}{b}\right)}{\dfrac{1-b}{\sqrt{b}}}
=
\left(b-\dfrac{1}{b}\right)\sqrt{b}
=
\frac{b^2-1}{\sqrt{b}}.
$$

Ответ

$$\frac{b^2-1}{\sqrt{b}}$$