Упр.28.206 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.206. Упростите выражение (((va^3-v8)(va+v2))/(a+v(2a)+2))^2+v((a^2+2)^2-8a^2).

$$
\left(\frac{(\sqrt{a^3}-\sqrt{8})(\sqrt{a}+\sqrt{2})}{a+\sqrt{2a}+2}\right)^2+\sqrt{(a^2+2)^2-8a^2}
$$

Так как $$\sqrt{a^3}=a\sqrt{a}$$ и $$\sqrt{8}=2\sqrt{2},$$ то

$$
\sqrt{a^3}-\sqrt{8}=\sqrt{a}\,a-2\sqrt{2}=(\sqrt{a}-\sqrt{2})(a+\sqrt{2a}+2),
$$

поэтому

$$
\left(\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{2})(a+\sqrt{2a}+2)(\sqrt{a}+\sqrt{2})}{a+\sqrt{2a}+2}\right)^2+\sqrt{(a^2+2)^2-8a^2}
$$

$$
=\left((\sqrt{a}-\sqrt{2})(\sqrt{a}+\sqrt{2})\right)^2+\sqrt{a^4+4a^2+4-8a^2}
$$

$$
=(a-2)^2+\sqrt{a^4-4a^2+4}
=(a-2)^2+\sqrt{(a^2-2)^2}
$$

$$
=(a-2)^2+|a^2-2|.
$$

Рассмотрим два случая.

1. Если $$a\ge \sqrt{2},$$ то $$|a^2-2|=a^2-2,$$ и тогда

   $$
   (a-2)^2+(a^2-2)=a^2-4a+4+a^2-2=2(a-1)^2.
   $$

2. Если $$0\le a<\sqrt{2},$$ то $$|a^2-2|=2-a^2,$$ и тогда

   $$
   (a-2)^2+(2-a^2)=a^2-4a+4+2-a^2=6-4a.
   $$

Ответ

$$
\begin{cases}
2(a-1)^2, & a\ge \sqrt{2},\\
6-4a, & 0\le a<\sqrt{2}.
\end{cases}
$$