Упр.28.205 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.205. Упростите выражение (v(1+x)/(v(1+x)-v(1-x))+(1-x)/(v(1-x^2)+x-1))·(v(x^(-2)-1)-1/x), если 0 < x < 1.

Преобразуем выражение:

$$
\left(\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}+\frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}+x-1}\right)\cdot\left(\sqrt{x^{-2}-1}-\frac1x\right), \quad 0<x<1.
$$

Так как $$\sqrt{x^{-2}-1}=\sqrt{\frac{1-x^2}{x^2}}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$$ при $$0<x<1,$$ то

$$
\sqrt{x^{-2}-1}-\frac1x=\frac{\sqrt{1-x^2}-1}{x}.
$$

Рассмотрим первую скобку. Во второй дроби вынесем минус в знаменателе:

$$
\sqrt{1-x^2}+x-1=\sqrt{1-x^2}-(1-x).
$$

Тогда

$$
\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}+\frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}-(1-x)}.
$$

Умножим и разделим вторую дробь на $$\sqrt{1-x^2}+1-x$$:

$$
\frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}-(1-x)}
=
\frac{(1-x)\bigl(\sqrt{1-x^2}+1-x\bigr)}{(1-x^2)-(1-x)^2}
=
\frac{\sqrt{1-x^2}+1-x}{x}.
$$

Аналогично для первой дроби:

$$
\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}
=
\frac{1+x+\sqrt{1-x^2}}{x}.
$$

Складывая, получаем:

$$
\frac{1+x+\sqrt{1-x^2}}{x}+\frac{\sqrt{1-x^2}+1-x}{x}
=
\frac{2\sqrt{1-x^2}+2}{x}
=
\frac{2\bigl(\sqrt{1-x^2}+1\bigr)}{x}.
$$

Тогда всё выражение равно

$$
\frac{2\bigl(\sqrt{1-x^2}+1\bigr)}{x}\cdot \frac{\sqrt{1-x^2}-1}{x}
=
\frac{2\bigl((1-x^2)-1\bigr)}{x^2}
=
\frac{-2x^2}{x^2}
=
-2.
$$

Проверим вычисление по более короткому преобразованию. Заметим, что

$$
\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}
=
\frac{1+x+\sqrt{1-x^2}}{x},
\qquad
\frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}+x-1}
=
\frac{\sqrt{1-x^2}+1-x}{x}.
$$

Тогда сумма в первой скобке:

$$
\frac{1+x+\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-x^2}+1-x}{x}
=
\frac{2\bigl(1+\sqrt{1-x^2}\bigr)}{x}.
$$

А вторая скобка:

$$
\sqrt{x^{-2}-1}-\frac1x=\frac{\sqrt{1-x^2}-1}{x}.
$$

Следовательно,

$$
\frac{2\bigl(1+\sqrt{1-x^2}\bigr)}{x}\cdot \frac{\sqrt{1-x^2}-1}{x}
=
\frac{2\bigl((1-x^2)-1\bigr)}{x^2}
=
-2.
$$

Ответ

$$-2$$