Упр.28.204 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.204. Упростите выражение ((1+v(1-x))/(1-x+v(1-x))+(1-v(1+x))/(1+x-v(1+x))^2 (x^2-1)/2+1.

Преобразуем выражение:

$$
\left(\frac{1+\sqrt{1-x}}{1-x+\sqrt{1-x}}+\frac{1-\sqrt{1+x}}{1+x-\sqrt{1+x}}\right)^2\cdot \frac{x^2-1}{2}+1
$$

Заметим, что
$$
1-x+\sqrt{1-x}=\sqrt{1-x}\,(\sqrt{1-x}+1),
$$
$$
1+x-\sqrt{1+x}=\sqrt{1+x}\,(\sqrt{1+x}-1).
$$
Тогда
$$
\frac{1+\sqrt{1-x}}{1-x+\sqrt{1-x}}=\frac{1}{\sqrt{1-x}},
\qquad
\frac{1-\sqrt{1+x}}{1+x-\sqrt{1+x}}=-\frac{1}{\sqrt{1+x}}.
$$
Следовательно,
$$
\left(\frac{1+\sqrt{1-x}}{1-x+\sqrt{1-x}}+\frac{1-\sqrt{1+x}}{1+x-\sqrt{1+x}}\right)
=
\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x}\,\sqrt{1+x}}.
$$
Возводим в квадрат:
$$
\left(\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x}\,\sqrt{1+x}}\right)^2
=
\frac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})^2}{(1-x)(1+x)}.
$$
Раскроем квадрат разности:
$$
(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})^2=(1+x)+(1-x)-2\sqrt{(1+x)(1-x)}=2-2\sqrt{1-x^2}.
$$
Тогда
$$
\frac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})^2}{(1-x)(1+x)}\cdot \frac{x^2-1}{2}+1
=
\frac{2-2\sqrt{1-x^2}}{1-x^2}\cdot \frac{x^2-1}{2}+1.
$$
Так как $$x^2-1=-(1-x^2),$$ получаем
$$
\frac{2-2\sqrt{1-x^2}}{1-x^2}\cdot \frac{-(1-x^2)}{2}+1
=
-(1-\sqrt{1-x^2})+1
=
\sqrt{1-x^2}.
$$

Ответ

$$\sqrt{1-x^2}$$