Упр.28.202 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.202. Найдите значение выражения v(8+2v(10+2v5))+v(8-2v(10+2v5)).

Обозначим

$$x=\sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt5}}+\sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt5}}.$$

Тогда

$$x^2=8+2\sqrt{10+2\sqrt5}+8-2\sqrt{10+2\sqrt5}+2\sqrt{\left(8+2\sqrt{10+2\sqrt5}\right)\left(8-2\sqrt{10+2\sqrt5}\right)}.$$

Упростим:

$$x^2=16+2\sqrt{64-4(10+2\sqrt5)}=16+2\sqrt{24-8\sqrt5}.$$

Далее

$$24-8\sqrt5=4(6-2\sqrt5)=4(\sqrt5-1)^2,$$

значит

$$\sqrt{24-8\sqrt5}=2(\sqrt5-1).$$

Тогда

$$x^2=16+4(\sqrt5-1)=12+4\sqrt5.$$

Представим это так:

$$12+4\sqrt5=2(6+2\sqrt5)=2(\sqrt5+1)^2.$$

Следовательно,

$$x=\sqrt{2}(\sqrt5+1)=\sqrt{10}+\sqrt2.$$

Ответ

$$\sqrt{10}+\sqrt2$$