Упр.28.201 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.201. Докажите, что v(21+8v5)/(4+v5)·v(9-4v5)=v5-2.

Преобразуем выражение:

$$
\frac{\sqrt{21+8\sqrt5}}{4+\sqrt5}\cdot \sqrt{9-4\sqrt5}
$$

Заметим, что

$$
21+8\sqrt5=16+8\sqrt5+5=(4+\sqrt5)^2,
$$
$$
9-4\sqrt5=5-4\sqrt5+4=(\sqrt5-2)^2.
$$

Тогда

$$
\frac{\sqrt{(4+\sqrt5)^2}}{4+\sqrt5}\cdot \sqrt{(\sqrt5-2)^2}
=
\frac{4+\sqrt5}{4+\sqrt5}\cdot (\sqrt5-2).
$$

Так как $$4+\sqrt5>0$$, а $$\sqrt5-2>0$$, получаем

$$
1\cdot (\sqrt5-2)=\sqrt5-2.
$$

Ответ

$$\sqrt5-2$$