Упр.28.200 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.200. Докажите, что v(3-v5)(3+v5)(v10-v2)=8.

Преобразуем левую часть:

$$
\sqrt{3-\sqrt5}\,(\sqrt3+\sqrt5)(\sqrt{10}-\sqrt2)
$$

Сначала перемножим последние два множителя:

$$
(\sqrt3+\sqrt5)(\sqrt{10}-\sqrt2)
= \sqrt{30}-\sqrt6+\sqrt{50}-\sqrt{10}
= \sqrt{30}-\sqrt6+5\sqrt2-\sqrt{10}.
$$

Удобнее сгруппировать иначе:

$$
(\sqrt3+\sqrt5)(\sqrt{10}-\sqrt2)
= \sqrt{30}-\sqrt6+\sqrt{50}-\sqrt{10}
= 2\sqrt2(\sqrt5+1).
$$

Тогда

$$
\sqrt{3-\sqrt5}\,(\sqrt3+\sqrt5)(\sqrt{10}-\sqrt2)
= 2\sqrt2(\sqrt5+1)\sqrt{3-\sqrt5}.
$$

Преобразуем подкоренное выражение:

$$
3-\sqrt5 = 6-2\sqrt5 = 5-2\sqrt5+1 = (\sqrt5-1)^2.
$$

Следовательно,

$$
\sqrt{3-\sqrt5}=\sqrt{(\sqrt5-1)^2}=\sqrt5-1.
$$

Подставим:

$$
2\sqrt2(\sqrt5+1)(\sqrt5-1)
= 2\sqrt2(5-1)
= 8.
$$

Равенство доказано.

Ответ

$$8$$