Упр.28.199 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.199. Докажите, что (4+v15)(v10-v6)v(4-v15)=2.

Преобразуем левую часть:

$$
(4+\sqrt{15})(\sqrt{10}-\sqrt{6})\sqrt{4-\sqrt{15}}
$$
$$
=(4\sqrt{10}-4\sqrt{6}+\sqrt{150}-\sqrt{90})\sqrt{4-\sqrt{15}}
$$
$$
=(4\sqrt{10}-4\sqrt{6}+5\sqrt{6}-3\sqrt{10})\sqrt{4-\sqrt{15}}
$$
$$
=(\sqrt{10}+\sqrt{6})\sqrt{4-\sqrt{15}}
$$
$$
=\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})\sqrt{4-\sqrt{15}}
$$

Заметим, что

$$
4-\sqrt{15}=5-2\sqrt{15}+3=(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2.
$$

Тогда

$$
\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})\sqrt{4-\sqrt{15}}
=\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})
$$
$$
=\sqrt{2}(5-3)=2.
$$

Равенство доказано.

Ответ

$$2$$