Упр.28.198 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.198. Найдите значение выражения v(6+2v(5-v(13+v48))).

Подробный ответ

Преобразуем выражение по шагам:

$$
\sqrt{6+2\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}
$$
$$
=\sqrt{6+2\sqrt{5-\sqrt{13+4\sqrt3}}}
$$
так как $$\sqrt{48}=4\sqrt3.$$

Далее:
$$
13+4\sqrt3=(2\sqrt3+1)^2,
$$
значит
$$
\sqrt{13+4\sqrt3}=2\sqrt3+1.
$$
Тогда
$$
\sqrt{5-\sqrt{13+4\sqrt3}}=\sqrt{5-(2\sqrt3+1)}=\sqrt{4-2\sqrt3}.
$$

Представим подкоренное выражение в виде квадрата:
$$
4-2\sqrt3=(\sqrt3-1)^2.
$$
Следовательно,
$$
\sqrt{4-2\sqrt3}=\sqrt3-1.
$$
Теперь получаем:
$$
\sqrt{6+2(\sqrt3-1)}=\sqrt{6+2\sqrt3-2}=\sqrt{4+2\sqrt3}.
$$

Заметим, что
$$
4+2\sqrt3=(\sqrt3+1)^2.
$$
Тогда
$$
\sqrt{4+2\sqrt3}=\sqrt3+1.
$$