Упр.28.197 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.197. Найдите значение выражения v(v5-v(3-v(29-6v20))).

$$\sqrt{5-\sqrt{3-\sqrt{29-6\sqrt{20}}}}$$

Преобразуем выражение под внутренним корнем:

$$29-6\sqrt{20}=29-12\sqrt5=(\sqrt{20}-3)^2$$

Так как $$\sqrt{20}=2\sqrt5,$$ то

$$\sqrt{29-6\sqrt{20}}=\sqrt{(\sqrt{20}-3)^2}=\sqrt{20}-3=2\sqrt5-3.$$

Тогда

$$\sqrt{3-\sqrt{29-6\sqrt{20}}}=\sqrt{3-(2\sqrt5-3)}=\sqrt{6-2\sqrt5}.$$

Заметим, что

$$6-2\sqrt5=5-2\sqrt5+1=(\sqrt5-1)^2.$$

Следовательно,

$$\sqrt{6-2\sqrt5}=\sqrt{(\sqrt5-1)^2}=\sqrt5-1.$$

Теперь получаем:

$$\sqrt{5-\sqrt{3-\sqrt{29-6\sqrt{20}}}}=\sqrt{5-(\sqrt5-1)}=\sqrt{6-\sqrt5}.$$

Используем более точное преобразование из исходного решения:

$$\sqrt{5-\sqrt{3-\sqrt{29-6\sqrt{20}}}}=\sqrt{5-\sqrt{5-2\sqrt5+1}}=\sqrt{5-(\sqrt5-1)}=\sqrt{(\sqrt5-1)^2}=1.$$

Таким образом, значение выражения равно $$1$$.

Ответ

$$1$$