Упр.28.193 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v(a-2+2v(a-3));
2) v(2x-2v(x^2-4)), если x > 2;
3) v(2a-4+2v(a^2-4a+3))-v(a-1);
4) (v(x+3+2v(x+2))-1)/v(x+2).

1. $$\sqrt{a-2+2\sqrt{a-3}}=\sqrt{(a-3)+2\sqrt{a-3}+1}=\sqrt{(\sqrt{a-3}+1)^2}$$

   Так как $$\sqrt{a-3}\ge 0,$$ то $$\sqrt{a-3}+1>0,$$ значит
   $$\sqrt{(\sqrt{a-3}+1)^2}=\sqrt{a-3}+1.$$

2. $$\sqrt{2x-2\sqrt{x^2-4}}=\sqrt{2x-2\sqrt{(x+2)(x-2)}}.$$

   При $$x>2$$ имеем
   $$x^2-4=(x+2)(x-2),$$
   поэтому
   $$\sqrt{2x-2\sqrt{x^2-4}}=\sqrt{(x+2)-2\sqrt{(x+2)(x-2)}+(x-2)}.$$

   Тогда
   $$\sqrt{2x-2\sqrt{x^2-4}}=\sqrt{(\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2})^2}=\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}.$$

3. $$\sqrt{2a-4+2\sqrt{a^2-4a+3}}-\sqrt{a-1}$$
   $$=\sqrt{(a-1)+2\sqrt{(a-1)(a-3)}+(a-3)}-\sqrt{a-1}$$
   $$=\sqrt{(\sqrt{a-1}+\sqrt{a-3})^2}-\sqrt{a-1}.$$

   Следовательно,
   $$\sqrt{2a-4+2\sqrt{a^2-4a+3}}-\sqrt{a-1}=\sqrt{a-1}+\sqrt{a-3}-\sqrt{a-1}=\sqrt{a-3}.$$

4. $$\frac{\sqrt{x+3+2\sqrt{x+2}}-1}{\sqrt{x+2}}.$$

   Заметим, что
   $$x+3+2\sqrt{x+2}=(x+2)+2\sqrt{x+2}+1=(\sqrt{x+2}+1)^2.$$

   Тогда
   $$\frac{\sqrt{(\sqrt{x+2}+1)^2}-1}{\sqrt{x+2}}=\frac{\sqrt{x+2}+1-1}{\sqrt{x+2}}=\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+2}}=1.$$

Ответ

1) $$\sqrt{a-3}+1$$; 2) $$\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}$$; 3) $$\sqrt{a-3}$$; 4) $$1$$.