Упр.28.19 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.19. Докажите, что при любом целом значении n значение выражения n(n+1)(2n+1) кратно 6.

Рассмотрим произведение $$n(n+1)(2n+1).$$

Среди двух соседних чисел $$n$$ и $$n+1$$ одно обязательно чётное, значит их произведение делится на $$2$$.

Теперь покажем, что всё произведение делится ещё и на $$3$$. Среди чисел $$n$$ и $$n+1$$ одно делится на $$3$$, если $$n \equiv 0 \pmod 3$$ или $$n \equiv 2 \pmod 3$$. Если же $$n \equiv 1 \pmod 3$$, то

$$2n+1 \equiv 2\cdot 1+1=3 \equiv 0 \pmod 3,$$

то есть число $$2n+1$$ делится на $$3$$.

Следовательно, в произведении $$n(n+1)(2n+1)$$ всегда есть множитель, делящийся на $$2$$, и множитель, делящийся на $$3$$. Значит, всё произведение делится на $$6$$.

Ответ

$$n(n+1)(2n+1)$$ кратно $$6$$ при любом целом $$n$$.