Упр.28.179 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.179. Найдите все значения параметра q такие, что для любого значения параметра р уравнение x^2+px+q=0 имеет решение.

Подробный ответ

Чтобы уравнение $$x^2+px+q=0$$ имело решение при любом значении параметра $$p$$, его дискриминант должен быть неотрицательным при любом $$p$$:

$$D=p^2-4q \ge 0.$$

Так как $$p^2 \ge 0$$ при любом $$p$$, то наименьшее значение выражения $$p^2-4q$$ достигается при $$p=0$$. Тогда должно выполняться:

$$-4q \ge 0,$$

откуда

$$q \le 0.$$

При любом $$q \le 0$$ имеем $$p^2-4q \ge p^2 \ge 0$$, значит, уравнение действительно имеет решение для любого $$p$$.