Упр.28.178 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.178. При каких значениях параметра а неравенство |(x^2-ax+1)/(x^2+x+1)| выполняется для любого значения х?

Подробный ответ

Так как знаменатель $$x^2+x+1$$ всегда положителен, то неравенство

$$\left|\frac{x^2-ax+1}{x^2+x+1}\right|<3$$

равносильно системе

$$-3<\frac{x^2-ax+1}{x^2+x+1}<3.$$

Рассмотрим обе части отдельно.

1) Из неравенства

$$\frac{x^2-ax+1}{x^2+x+1}>-3$$

получаем

$$x^2-ax+1>-3(x^2+x+1),$$

$$4x^2+(3-a)x+4>0.$$

Чтобы это неравенство выполнялось при любом $$x$$, квадратный трехчлен должен быть положительным для всех $$x$$, то есть его дискриминант должен быть отрицательным:

$$D=(3-a)^2-4\cdot 4\cdot 4<0,$$

$$a^2-6a-55<0,$$

$$(a+5)(a-11)<0.$$

Отсюда

$$-5<a<11.$$

2) Из неравенства

$$\frac{x^2-ax+1}{x^2+x+1}<3$$

получаем

$$x^2-ax+1<3(x^2+x+1),$$

$$2x^2+(3+a)x+2>0.$$

Аналогично, это неравенство должно выполняться при любом $$x$$, значит

$$D=(3+a)^2-4\cdot 2\cdot 2<0,$$