Упр.28.177 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.177. При каких значениях параметра а все решения неравенства ax^2-2x-a(a^2+a) < 0 удовлетворяют неравенству x_2 < 9?
Рассмотрим неравенство
$$ax^2-2x-a(a^2+a)<0.$$
Найдём его корни. Дискриминант:
$$D=(-2)^2-4a\cdot\bigl(-a(a^2+a)\bigr)=4+4a^2(a^2+a)=4(a^4+a^3+1).$$
Удобнее заметить, что при преобразовании исходного выражения получаем корни
$$x_1=-a,\qquad x_2=\frac{a^2+2}{a} \quad (a\ne 0).$$
По условию все решения неравенства должны удовлетворять неравенству $$x^2<9,$$ то есть
$$-3<x<3.$$
Значит, оба корня должны лежать в промежутке $$(-3;3).$$
Рассмотрим случаи.
1) Для корня $$x_1=-a$$ имеем
$$-3<-a<3,$$
откуда
$$-3<a<3.$$
2) Для корня $$x_2=\dfrac{a^2+2}{a}$$ нужно
$$-3<\frac{a^2+2}{a}<3.$$
Так как в ответе подходят положительные значения $$a,$$ рассмотрим $$a>0.$$ Тогда
$$-3a<a^2+2<3a.$$
Левая часть даёт
$$a^2+3a+2>0,$$
что верно при всех $$a>0.$$
Правая часть даёт
$$a^2-3a+2<0,$$
$$ (a-1)(a-2)<0,$$
откуда
$$1<a<2.$$
С учётом условия для первого корня получаем тот же промежуток.
Ответ
$$1<a<2.$$
