Упр.28.175 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.175. При каких значениях параметра а неравенство ax^2-4x+4a > 0 выполняется для всех положительных значений х?

Подробный ответ

Рассмотрим функцию $$f(x)=ax^2-4x+4a.$$

Чтобы неравенство $$ax^2-4x+4a>0$$ выполнялось при всех $$x>0$$, парабола должна быть направлена вверх, а её вершина находиться левее области $$x>0$$. Тогда достаточно, чтобы выполнялись условия:

$$a>0,$$
$$D<0,$$
$$f(0)\ge 0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-4)^2-4\cdot a\cdot 4a=16-16a^2=16(1-a^2).$$

Из условия $$D<0$$ получаем:

$$16(1-a^2)<0,$$
$$1-a^2<0,$$
$$a^2>1,$$
$$a<-1 \text{ или } a>1.$$

Так как требуется ещё $$a>0$$, остаётся:

$$a>1.$$

Проверим значение при $$x=0$$:

$$f(0)=4a\ge 0,$$

что при $$a>1$$ выполняется.