Упр.28.174 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.174. При каких значениях параметра а корни уравнения x^2-2ax+a^2-a=0 принадлежат промежутку [-2; 6]?

Рассмотрим квадратное уравнение

$$x^2-2ax+a^2-a=0.$$

Его дискриминант:

$$D=(-2a)^2-4(a^2-a)=4a^2-4a^2+4a=4a.$$

Чтобы корни были действительными, нужно

$$4a\ge 0,\quad a\ge 0.$$

Пусть корни уравнения принадлежат отрезку $$[-2;6].$$ Тогда для параболы с ветвями вверх необходимо, чтобы

$$f(-2)\ge 0,\qquad f(6)\ge 0,$$

где $$f(x)=x^2-2ax+a^2-a.$$

Вычислим:

$$f(-2)=4+4a+a^2-a=a^2+3a+4.$$

Так как

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot 4=9-16=-7<0,$$

то $$a^2+3a+4>0$$ при всех $$a,$$ значит это условие выполняется всегда.

Теперь рассмотрим второе неравенство:

$$f(6)=36-12a+a^2-a=a^2-13a+36\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$a^2-13a+36=(a-4)(a-9)\ge 0.$$

Отсюда

$$a\le 4 \quad \text{или} \quad a\ge 9.$$

Кроме того, корни уравнения равны

$$x_{1,2}=a\pm \sqrt{a}.$$

Чтобы оба корня лежали в отрезке $$[-2;6],$$ достаточно учесть, что при $$a\ge 0$$ меньший корень не меньше $$-2$$, а больший не больше $$6.$$ Это даёт условие

$$a\le 4.$$

С учётом $$a\ge 0$$ получаем

$$0\le a\le 4.$$

Ответ

$$[0;4].$$