Упр.28.173 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.173. При каких значениях параметра а корни x_1 и x_2 уравнения 2x^2-2(2a+1)x+a(a+1)=0 удовлетворяют условию x_1 < a < x_2?

Подробный ответ

Рассмотрим квадратное уравнение

$$2x^2-2(2a+1)x+a(a+1)=0.$$

Чтобы его корни удовлетворяли условию $$x_1<a<x_2,$$ достаточно, чтобы значение квадратного трёхчлена при $$x=a$$ было отрицательным, а корни были действительными.

Найдём дискриминант:

$$
D=[-2(2a+1)]^2-4\cdot 2\cdot a(a+1)
=4(2a+1)^2-8a(a+1)
=4(2a^2+2a+1).
$$

Так как

$$2a^2+2a+1=2\left(a+\frac12\right)^2+\frac12>0,$$

то $$D>0$$ при любых значениях $$a$$, значит, уравнение всегда имеет два действительных корня.

Теперь вычислим значение левой части при $$x=a$$:

$$
f(a)=2a^2-2(2a+1)a+a(a+1)
=2a^2-4a^2-2a+a^2+a
=-a^2-a
=-a(a+1).
$$

Условие $$x_1<a<x_2$$ для квадратного трёхчлена с положительным старшим коэффициентом эквивалентно неравенству

$$f(a)<0.$$

Следовательно,

$$-a(a+1)<0 \quad \Longleftrightarrow \quad a(a+1)>0.$$

Отсюда