Упр.28.171 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.171. При каких значениях параметра а неравенство (a-3)x^2-2ax+3a-6 > 0 выполняется при всех значениях х?
Рассмотрим неравенство
$$ (a-3)x^2-2ax+3a-6>0. $$
Чтобы оно выполнялось при всех значениях $$x$$, квадратный трёхчлен должен быть строго положительным для любых $$x$$. Это возможно в двух случаях:
- коэффициент при $$x^2$$ положителен и дискриминант отрицателен;
- квадратный трёхчлен вырождается в линейный, но тогда он не может быть положительным при всех $$x$$.
Значит, рассматриваем только случай
$$a-3>0,$$
то есть $$a>3$$.
Найдём дискриминант:
$$
D=(-2a)^2-4(a-3)(3a-6)
$$
$$
D=4a^2-4(3a^2-15a+18)
$$
$$
D=-4(2a^2-15a+18).
$$
Для выполнения неравенства при всех $$x$$ нужно, чтобы
$$D<0,$$
то есть
$$2a^2-15a+18>0.$$
Решим квадратное неравенство:
$$
2a^2-15a+18=(2a-3)(a-6).
$$
Тогда
$$
(2a-3)(a-6)>0,
$$
откуда
$$
a<\frac{3}{2} \quad \text{или} \quad a>6.
$$
С учётом условия $$a>3$$ получаем
$$a>6.$$
При $$a=3$$ выражение становится линейным:
$$-6x+3>0,$$
что не выполняется при всех $$x$$, поэтому этот случай не подходит.
Ответ
$$a\in(6;+\infty).$$
