Упр.28.169 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.169. При каких значениях параметра а неравенство (a+4)x^2-2ax+2a-6 < 0 выполняется при всех значениях х?

Рассмотрим неравенство как квадратное относительно $$x$$:

$$
(a+4)x^2-2ax+2a-6<0.
$$

Чтобы оно выполнялось при всех значениях $$x$$, парабола должна быть направлена вниз и не иметь действительных корней, то есть:

$$
a+4<0,\qquad D<0.
$$

Найдём дискриминант:

$$
D=(-2a)^2-4(a+4)(2a-6)
$$

$$
D=4a^2-4(2a^2+2a-24)
$$

$$
D=-4(a^2+2a-24).
$$

Тогда

$$
-4(a^2+2a-24)<0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; a^2+2a-24>0.
$$

Решим квадратное неравенство:

$$
a^2+2a-24=(a+6)(a-4).
$$

Следовательно,

$$
(a+6)(a-4)>0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; a<-6 \text{ или } a>4.
$$

С учётом условия $$a+4<0$$ получаем:

$$
a<-4.
$$

Пересечение условий:

$$
a<-6.
$$

Ответ

$$
(-\infty;\,-6)
$$