Упр.28.167 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) (x^3+2x^2+5x+10)/(x^2-x-6) < 0; 5) 4/(|x+3|-1) > |x+2|;
2) (x^2-x-1)(x^2-x-7) < -5; 6) ((1-x)(2-x))/(x^2+|x|-2) > -2x;
3) (x^2-2x)(2x-2)-9·(2x-2)/(x^2-2x) < 0; 7) |x^2-2x-3| < 3x-3;
4) (2x+|x+1|)/(x-2) > 1; 8) |x^2+4x+3| > x+3.
$$\frac{x^3+2x^2+5x+10}{x^2-x-6}<0$$ $$x^3+2x^2+5x+10=(x+2)(x^2+5),\qquad x^2-x-6=(x+2)(x-3).$$ Тогда $$\frac{(x+2)(x^2+5)}{(x+2)(x-3)}<0,\qquad x\ne -2,\; x\ne 3.$$ Так как $$x^2+5>0$$ при любых $$x$$, получаем
$$\frac{1}{x-3}<0,$$ откуда $$x<3,\qquad x\ne -2.$$Ответ: $$(-\infty;-2)\cup(-2;3).$$
$$\left(x^2-x-1\right)\left(x^2-x-7\right)<-5.$$ Обозначим $$y=x^2-x-1.$$ Тогда $$y(y-6)<-5,$$ $$y^2-6y+5<0,$$ $$\left(y-1\right)\left(y-5\right)<0,$$ значит $$1<y<5.$$ То есть $$1<x^2-x-1<5.$$ Получаем систему: $$x^2-x-2>0,\qquad x^2-x-6<0.$$ Тогда $$\left(x+1\right)\left(x-2\right)>0 \Rightarrow x<-1 \text{ или } x>2,$$ $$\left(x+2\right)\left(x-3\right)<0 \Rightarrow -2<x<3.$$ Пересечение: $$(-2;-1)\cup(2;3).$$
Ответ: $$(-2;-1)\cup(2;3).$$
$$\left(x^2-2x\right)\left(2x-2\right)-9\cdot\frac{2x-2}{x^2-2x}\le 0.$$
Вынесем общий множитель:
$$\left(2x-2\right)\left(x^2-2x-\frac{9}{x^2-2x}\right)\le 0.$$
Удобно привести к одной дроби:
$$\frac{(2x-2)\left((x^2-2x)^2-9\right)}{x^2-2x}\le 0.$$
Так как
$$\left(x^2-2x\right)^2-9=\left(x^2-2x-3\right)\left(x^2-2x+3\right),$$
а
$$x^2-2x-3=(x-3)(x+1),$$
то
$$\frac{2(x-1)(x-3)(x+1)\left(x^2-2x+3\right)}{x(x-2)}\le 0.$$
Поскольку
$$x^2-2x+3>0,$$
остаётся решить
$$\frac{(x-1)(x-3)(x+1)}{x(x-2)}\le 0,\qquad x\ne 0,\; x\ne 2.$$
По знакам на промежутках получаем
$$(-\infty;-1]\cup(0;1]\cup(2;3].$$Ответ: $$(-\infty;-1]\cup(0;1]\cup(2;3].$$
$$\frac{2x+|x+1|}{x-2}>1.$$
Рассмотрим случаи.Если $$x\ge -1,$$ то $$|x+1|=x+1$$ и
$$\frac{2x+x+1}{x-2}>1,$$
$$\frac{2x+3}{x-2}>0.$$
Отсюда
$$x<-\frac32 \text{ или } x>2.$$
С учётом $$x\ge -1$$ получаем $$x>2.$$Если $$x<-1,$$ то $$|x+1|=-x-1$$ и
$$\frac{2x-x-1}{x-2}>1,$$
$$\frac{x-1}{x-2}>1,$$
$$\frac{1}{x-2}>0,$$
что невозможно.Ответ: $$(2;+\infty).$$
$$\frac{4}{|x+3|-1}\ge |x+2|.$$
Рассмотрим случаи.1) Если $$x\ge -2,$$ то $$|x+2|=x+2.$$
При $$x\ge -2$$ имеем $$|x+3|=x+3,$$ поэтому
$$\frac{4}{x+2}\ge x+2,$$
$$4\ge (x+2)^2,$$
$$\left(x+4\right)x\le 0.$$
С учётом $$x\ge -2$$ получаем
$$[-2;0].$$2) Если $$-3\le x<-2,$$ то $$|x+2|=-(x+2),$$ а $$|x+3|=x+3,$$ и
$$\frac{4}{x+2}\ge -(x+2).$$
Здесь $$x+2<0,$$ поэтому левая часть отрицательна, правая неотрицательна; решений нет.3) Если $$x<-3,$$ то $$|x+2|=-(x+2),\; |x+3|=-(x+3),$$ и
$$\frac{4}{-x-4}\ge -(x+2).$$
После преобразований получаем
$$x^2+6x+4\ge 0,$$
$$x\le -3-\sqrt5 \text{ или } x\ge -3+\sqrt5.$$
С учётом $$x<-3$$ остаётся
$$x\le -3-\sqrt5.$$Ответ: $$(-\infty;-3-\sqrt5]\cup[-2;0].$$
$$\frac{(1-x)(2-x)}{x^2+|x|-2}>-2x.$$
Рассмотрим случаи.Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x$$ и
$$\frac{(x-1)(x-2)}{x^2+x-2}+2x\ge 0.$$
Так как $$x^2+x-2=(x+2)(x-1),$$ после упрощения получаем
$$\frac{2x^2+5x-2}{x+2}\ge 0.$$
Корни числителя:
$$x=\frac{-5\pm\sqrt{41}}{4}.$$
С учётом $$x\ge 0$$ получаем
$$x\ge \frac{-5+\sqrt{41}}{4}.$$Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x$$ и
$$\frac{(x-1)(x-2)}{x^2-x-2}+2x\ge 0.$$
Так как $$x^2-x-2=(x-2)(x+1),$$ получаем
$$\frac{2x^2+3x-1}{x+1}\ge 0.$$
Корни числителя:
$$x=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}.$$
С учётом $$x<0$$ и $$x\ne -1$$ имеем
$$\left[\frac{-3-\sqrt{17}}{4};-1\right)\cup\left[\frac{-5+\sqrt{41}}{4};+\infty\right).$$Ответ: $$\left[\frac{-3-\sqrt{17}}{4};-1\right)\cup\left[\frac{-5+\sqrt{41}}{4};+\infty\right).$$
$$|x^2-2x-3|<3x-3.$$
Правая часть должна быть положительной:
$$3x-3>0,\qquad x>1.$$
Тогда
$$-(3x-3)<x^2-2x-3<3x-3.$$
Из правого неравенства:
$$x^2-5x<0,$$
$$x(x-5)<0,$$
$$0<x<5.$$
Из левого:
$$x^2+x-6>0,$$
$$\left(x+3\right)\left(x-2\right)>0,$$
$$x<-3 \text{ или } x>2.$$
Пересечение с $$0<x<5$$ даёт
$$(2;5).$$Ответ: $$(2;5).$$
$$|x^2+4x+3|>x+3.$$
Если $$x+3<0,$$ то правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, значит неравенство верно при всех
$$x<-3.$$
Если $$x\ge -3,$$ то рассмотрим два случая.1) $$x^2+4x+3\ge 0.$$ Тогда
$$x^2+4x+3>x+3,$$
$$x^2+3x>0,$$
$$x(x+3)>0,$$
откуда
$$x<-3 \text{ или } x>0.$$
С учётом $$x\ge -3$$ получаем $$x>0.$$2) $$x^2+4x+3<0.$$ Тогда
$$-x^2-4x-3>x+3,$$
$$x^2+5x+6<0,$$
$$\left(x+2\right)\left(x+3\right)<0,$$
$$-3<x<-2.$$Объединяя все случаи, получаем
$$(-\infty;-3)\cup(-3;-2)\cup(0;+\infty).$$Ответ: $$(-\infty;-3)\cup(-3;-2)\cup(0;+\infty).$$
