Упр.28.166 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) ((x+1)(x-2)^4 (x+3))/((x-7)(1-3x)) > 0; 6) (3x+|x-1|)/(x-2) > 1;
2) (x^3+x^2+3x+3)/(x^2-6x+7) < 0; 7) ((1+x)(2+x))/(x^2-|x|-2) > -3x;
3) (|x|(x-2)^3)/(|x+3|(x-4)) > 0; 8) |x^2-3x|+x-2 < 0; 4) (x^2+3x+1)(x^2+3x-3) > 5; 9) |x^2+3x| > 2-x^2.
5) (x^2+3x)(2x+3)-16·(2x+3)/(x^2+3x) > 0;

1. $$\frac{(x+1)(x-2)^4(x+3)}{(x-7)(1-3x)}>0$$
   
   $$\frac{(x+1)(x-2)^4(x+3)}{(3x-1)(x-7)}<0$$
   
   Так как $$ (x-2)^4 \ge 0 $$ и при $$x=2$$ выражение равно нулю, а неравенство строгое, то $$x\ne 2$$.
   Знаки меняются в точках $$x=-3,\,-1,\,\frac13,\,2,\,7$$.
   По промежуткам получаем:
   $$-3<x<-1,\quad \frac13<x<7,\quad x\ne 2.$$

   $$(-3;-1)\cup\left(\frac13;2\right)\cup(2;7)$$

2. $$\frac{x^3+x^2+3x+3}{x^2-6x+7}<0$$
   
   $$x^3+x^2+3x+3=(x+1)(x^2+3)$$
   
   $$x^2-6x+7=0,\quad D=36-28=8,\quad x=3\pm\sqrt2$$
   
   Тогда
   $$\frac{(x+1)(x^2+3)}{(x-(3-\sqrt2))(x-(3+\sqrt2))}<0.$$
   Так как $$x^2+3>0$$ при всех $$x$$, остаётся
   $$\frac{x+1}{(x-(3-\sqrt2))(x-(3+\sqrt2))}<0.$$
   По знакам получаем:
   $$x\le -1,\quad 3-\sqrt2<x<3+\sqrt2.$$

   $$(-\infty;-1]\cup(3-\sqrt2;3+\sqrt2)$$

3. $$\frac{|x|(x-2)^3}{|x+3|(x-4)}>0$$
   
   Область определения: $$x\ne -3,\; x\ne 4.$$
   
   Числитель положителен при $$x>2$$ и отрицателен при $$x<2$$, а знаменатель имеет знак $$x-4$$, так как $$|x+3|>0$$.
   С учётом нулей числителя $$x=0,2$$ получаем:
   $$x<-3,\quad -3<x\le 2,\quad x>4.$$

   $$(-\infty;-3)\cup(-3;2]\cup(4;+\infty)$$

4. $$\left(x^2+3x+1\right)\left(x^2+3x-3\right)>5$$
   
   Обозначим $$y=x^2+3x+1$$. Тогда
   $$y(y-4)>5,$$
   $$y^2-4y-5>0,$$
   $$ (y+1)(y-5)>0.$$
   Значит,
   $$y<-1 \quad \text{или} \quad y>5.$$

   1) $$x^2+3x+1<-1$$
   
   $$x^2+3x+2<0,$$
   $$ (x+1)(x+2)<0,$$
   $$-2<x<-1.$$

   2) $$x^2+3x+1>5$$
   
   $$x^2+3x-4>0,$$
   $$ (x+4)(x-1)>0,$$
   $$x<-4 \quad \text{или} \quad x>1.$$

   $$(-\infty;-4)\cup[-2;-1]\cup[1;+\infty)$$

5. $$\left(x^2+3x\right)(2x+3)-16\cdot\frac{2x+3}{x^2+3x}>0$$
   
   $$\frac{(2x+3)\left((x^2+3x)^2-16\right)}{x^2+3x}>0$$
   
   $$\frac{(2x+3)(x^2+3x-4)(x^2+3x+4)}{x(x+3)}>0.$$
   Так как
   $$x^2+3x+4>0,$$
   остаётся
   $$\frac{(2x+3)(x^2+3x-4)}{x(x+3)}>0.$$
   Далее
   $$x^2+3x-4=(x+4)(x-1).$$
   Критические точки: $$-4,\,-3,\,-\frac32,\,0,\,1.$$
   По знакам:
   $$x\in[-4;-3)\cup\left[-\frac32;0\right)\cup[1;+\infty).$$

   $$[-4;-3)\cup\left[-\frac32;0\right)\cup[1;+\infty)$$

6. $$\frac{3x+|x-1|}{x-2}>1$$
   
   Рассмотрим случаи.

   Если $$x\ge 1$$, то $$|x-1|=x-1$$, и
   $$\frac{3x+x-1}{x-2}>1,$$
   $$\frac{3x+1}{x-2}>0.$$
   Отсюда
   $$x<-\frac13 \quad \text{или} \quad x>2.$$
   С учётом $$x\ge 1$$ получаем $$x>2$$.

   Если $$x<1$$, то $$|x-1|=1-x$$, и
   $$\frac{3x+1-x}{x-2}>1,$$
   $$\frac{x+3}{x-2}>0.$$
   Отсюда
   $$x<-3 \quad \text{или} \quad x>2.$$
   С учётом $$x<1$$ получаем $$x<-3.$$

   $$(-\infty;-3)\cup(2;+\infty)$$

7. $$\frac{(1+x)(2+x)}{x^2-|x|-2}>-3x$$
   
   Рассмотрим случаи.

   Если $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$:
   $$\frac{(x+1)(x+2)}{x^2-x-2}+3x\ge 0,$$
   $$\frac{x+2}{x-2}+3x\ge 0,$$
   $$\frac{3x^2-5x+2}{x-2}\ge 0,$$
   $$\frac{(3x-2)(x-1)}{x-2}\ge 0.$$
   Тогда
   $$\frac23\le x\le 1 \quad \text{или} \quad x>2.$$

   Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$:
   $$\frac{(x+1)(x+2)}{x^2+x-2}+3x\ge 0,$$
   $$\frac{x+1}{x-1}+\frac{3x(x-1)}{x-1}\ge 0,$$
   $$\frac{3x^2-2x+1}{x-1}\ge 0.$$
   Числитель всегда положителен, значит
   $$x>1,$$
   что при $$x<0$$ невозможно.

   $$\left[\frac23;1\right]\cup(2;+\infty)$$

8. $$|x^2-3x|+x-2<0$$
   
   Рассмотрим случаи.

   Если $$x\le 0$$ или $$x\ge 3$$, то $$x^2-3x\ge 0$$ и
   $$x^2-3x+x-2<0,$$
   $$x^2-2x-2<0.$$
   Корни:
   $$x=1\pm\sqrt3.$$
   Тогда
   $$1-\sqrt3<x<1+\sqrt3.$$
   С учётом случая получаем $$1-\sqrt3<x<0$$ и $$3<x<1+\sqrt3$$.

   Если $$0<x<3$$, то $$x^2-3x<0$$ и
   $$-x^2+3x+x-2<0,$$
   $$x^2-4x+2>0.$$
   Корни:
   $$x=2\pm\sqrt2.$$
   Тогда
   $$x<2-\sqrt2 \quad \text{или} \quad x>2+\sqrt2.$$
   С учётом $$0<x<3$$ получаем
   $$0<x<2-\sqrt2.$$

   Объединяя, получаем
   $$\left(1-\sqrt3;2-\sqrt2\right).$$

9. $$|x^2+3x|>2-x^2$$
   
   Если $$2-x^2<0$$, то неравенство выполняется автоматически, то есть при
   $$x<- \sqrt2 \quad \text{или} \quad x>\sqrt2.$$
   Но удобнее рассмотреть по знаку выражения $$x^2+3x$$.

   Если $$x\le -3$$ или $$x\ge 0$$, то $$|x^2+3x|=x^2+3x$$ и
   $$x^2+3x\ge 2-x^2,$$
   $$2x^2+3x-2\ge 0,$$
   $$ (2x-1)(x+2)\ge 0.$$
   Отсюда
   $$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge \frac12.$$

   Если $$-3<x<0$$, то $$|x^2+3x|=-(x^2+3x)$$ и
   $$-x^2-3x\ge 2-x^2,$$
   $$3x\le -2,$$
   $$x\le -\frac23.$$

   Объединяя все случаи, получаем
   $$(-\infty;-\frac23]\cup\left[\frac12;+\infty\right).$$

Ответ

1) $$(-3;-1)\cup\left(\frac13;2\right)\cup(2;7)$$
2) $$(-\infty;-1]\cup(3-\sqrt2;3+\sqrt2)$$
3) $$(-\infty;-3)\cup(-3;2]\cup(4;+\infty)$$
4) $$(-\infty;-4)\cup[-2;-1]\cup[1;+\infty)$$
5) $$[-4;-3)\cup\left[-\frac32;0\right)\cup[1;+\infty)$$
6) $$(-\infty;-3)\cup(2;+\infty)$$
7) $$\left[\frac23;1\right]\cup(2;+\infty)$$
8) $$\left(1-\sqrt3;2-\sqrt2\right)$$
9) $$(-\infty;-\frac23]\cup\left[\frac12;+\infty\right)$$