Упр.28.165 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) 1/(x+3) < 2/(x-4); 3) 1/(x-2)+1/(x+2) > 3/x;
2) (x+1)/x-(x-1)/(x+1) < 2; 4) 7/(x^2-9)-12/(x^2-4) > 0.
$$\frac{1}{x+3}<\frac{2}{x-4}$$
Перенесём всё в одну дробь:
$$\frac{2(x+3)-(x-4)}{(x+3)(x-4)}>0$$
$$\frac{x+10}{(x+3)(x-4)}>0$$
Критические точки: $$x=-10,\,-3,\,4$$.
По знакам дроби получаем:
$$x\in(-10;-3)\cup(4;+\infty)$$
$$\frac{x+1}{x}-\frac{x-1}{x+1}<2$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(x+1)^2-x(x-1)-2x(x+1)}{x(x+1)}<0$$
$$\frac{2x^2-x-1}{x(x+1)}<0$$
$$2x^2-x-1=(2x+1)(x-1)$$
Тогда
$$\frac{(2x+1)(x-1)}{x(x+1)}<0$$
Критические точки: $$x=-1,\,-\frac12,\,0,\,1$$.
По знакам дроби:
$$x\in(-\infty;-1)\cup\left(-\frac12;0\right)\cup(1;+\infty)$$
$$\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}>\frac{3}{x}$$
Перенесём всё в одну дробь:
$$\frac{3(x-2)(x+2)-x(x+2)-x(x-2)}{x(x+2)(x-2)}\le 0$$
$$\frac{x^2-12}{x(x+2)(x-2)}\le 0$$
$$x^2-12=(x-2\sqrt3)(x+2\sqrt3)$$
Критические точки: $$x=-2\sqrt3,\,-2,\,0,\,2,\,2\sqrt3$$.
По знакам дроби:
$$x\in(-\infty;-2\sqrt3]\cup(-2;0)\cup(2;2\sqrt3]$$
$$\frac{7}{x^2-9}-\frac{12}{x^2-4}>0$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{7(x^2-4)-12(x^2-9)}{(x^2-9)(x^2-4)}>0$$
$$\frac{80-5x^2}{(x^2-9)(x^2-4)}>0$$
$$\frac{5(16-x^2)}{(x^2-9)(x^2-4)}>0$$
$$\frac{5(x-4)(x+4)}{(x-3)(x+3)(x-2)(x+2)}>0$$
Критические точки: $$x=-4,\,-3,\,-2,\,2,\,3,\,4$$.
По знакам дроби:
$$x\in[-4;-3)\cup(-2;2)\cup(3;4]$$
Ответ
1) $$(-10;-3)\cup(4;+\infty)$$; 2) $$(-\infty;-1)\cup\left(-\frac12;0\right)\cup(1;+\infty)$$; 3) $$(-\infty;-2\sqrt3]\cup(-2;0)\cup(2;2\sqrt3]$$; 4) $$[-4;-3)\cup(-2;2)\cup(3;4]$$.
