Упр.28.164 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) (x-4)^2 (x^2-8x+12) < 0; 4) (x-2)^2 (x-3)^4 (x-4)^3 > 0;
2) (x+2)^2 (x^2+x-20) > 0; 5) (x^2-x-12)/(x^2+4x+4) < 0; 3) (x+5)^2 (x^2+2x-3) > 0; 6) (x^2-6x+9)/(x^2-3x-10) > 0.

Подробный ответ

$$ (x-4)^2(x^2-8x+12)<0 $$
Разложим квадратный трёхчлен на множители:
$$ x^2-8x+12=(x-2)(x-6) $$
Тогда
$$ (x-4)^2(x-2)(x-6)<0 $$
Так как $$ (x-4)^2\ge 0 $$ и обращается в нуль при $$x=4$$, знак произведения определяется множителем $$ (x-2)(x-6) $$, причём точки $$x=2,4,6$$ исключаются.
Для отрицательности нужно:
$$ 2<x<6,\quad x\ne 4 $$
Следовательно,
$$ x\in(2;4)\cup(4;6). $$
$$ (x+2)^2(x^2+x-20)>0 $$
Разложим квадратный трёхчлен:
$$ x^2+x-20=(x+5)(x-4) $$
Тогда
$$ (x+2)^2(x+5)(x-4)>0 $$
Так как $$ (x+2)^2\ge 0 $$, то произведение положительно там, где
$$ (x+5)(x-4)>0, \quad x\ne -2. $$
Отсюда
$$ x<-5 \quad \text{или} \quad x>4, \quad x\ne -2. $$
Итак,
$$ x\in(-\infty;-5)\cup(4;+\infty). $$
$$ (x+5)^2(x^2+2x-3)>0 $$
Разложим квадратный трёхчлен:
$$ x^2+2x-3=(x+3)(x-1) $$
Тогда
$$ (x+5)^2(x+3)(x-1)>0 $$
Так как $$ (x+5)^2\ge 0 $$, то нужно, чтобы
$$ (x+3)(x-1)>0,\quad x\ne -5. $$
Следовательно,
$$ x<-3 \quad \text{или} \quad x>1,\quad x\ne -5. $$
Ответ:
$$ x\in(-\infty;-5)\cup(-5;-3)\cup(1;+\infty). $$
$$ (x-2)^2(x-3)^4(x-4)^3\ge 0 $$
Множители $$ (x-2)^2 $$ и $$ (x-3)^4 $$ неотрицательны при любых $$x$$, а знак произведения определяется множителем $$ (x-4)^3 $$.
Так как степень нечётная, то
$$ (x-4)^3\ge 0 \iff x\ge 4. $$
Кроме того, произведение равно нулю при $$x=2$$ и $$x=3$$.
Итак,
$$ x\in\{2;3\}\cup[4;+\infty). $$
$$ \frac{x^2-x-12}{x^2+4x+4}<0 $$
Разложим на множители:
$$ x^2-x-12=(x+3)(x-4),\qquad x^2+4x+4=(x+2)^2 $$
Тогда
$$ \frac{(x+3)(x-4)}{(x+2)^2}<0 $$
Область определения: $$x\ne -2$$. Так как знаменатель положителен при всех допустимых $$x$$, нужно решить
$$ (x+3)(x-4)<0. $$
Отсюда
$$ -3<x<4,\quad x\ne -2. $$
Следовательно,
$$ x\in(-3;-2)\cup(-2;4). $$
$$ \frac{x^2-6x+9}{x^2-3x-10}\ge 0 $$
Разложим на множители:
$$ x^2-6x+9=(x-3)^2,\qquad x^2-3x-10=(x-5)(x+2) $$
Тогда
$$ \frac{(x-3)^2}{(x-5)(x+2)}\ge 0 $$
Область определения: $$x\ne -2,\; x\ne 5$$.
Числитель неотрицателен, поэтому дробь неотрицательна, когда знаменатель положителен, а также при равенстве нулю числителя:
$$ (x-5)(x+2)>0 \quad \text{или} \quad x=3. $$
Отсюда
$$ x<-2 \quad \text{или} \quad x>5,\quad \text{а также } x=3. $$
Итак,
$$ x\in(-\infty;-2)\cup\{3\}\cup(5;+\infty). $$