Упр.28.161 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) x^2-7|x|-30 < 0; 2) 6x^2+5|x|-1 > 0.

1. Рассмотрим неравенство $$x^2-7|x|-30<0.$$ Оно зависит только от $$|x|,$$ значит, функция чётная. Достаточно решить его при $$x\ge 0.$$ Тогда $$|x|=x,$$ и получаем

   $$x^2-7x-30<0.$$

   Разложим на множители:

   $$x^2-7x-30=(x+3)(x-10).$$

   Тогда

   $$ (x+3)(x-10)<0,$$

   откуда

   $$-3<x<10.$$

   С учётом условия $$x\ge 0$$ получаем

   $$0\le x<10.$$

   Так как выражение чётное, симметрично получаем и отрицательные значения:

   $$-10<x<10.$$

2. Рассмотрим неравенство $$6x^2+5|x|-1>0.$$ Оно также чётное, поэтому достаточно рассмотреть случай $$x\ge 0.$$ Тогда $$|x|=x,$$ и

   $$6x^2+5x-1>0.$$

   Найдём корни квадратного трёхчлена:

   $$D=5^2-4\cdot 6\cdot(-1)=25+24=49,$$

   $$x_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{12}.$$

   Отсюда

   $$x_1=-1,\qquad x_2=\frac16.$$

   Так как старший коэффициент положителен, то

   $$6x^2+5x-1>0 \quad \text{при} \quad x<-1 \ \text{или}\ x>\frac16.$$

   С учётом $$x\ge 0$$ получаем

   $$x>\frac16.$$

   По чётности исходного выражения имеем также

   $$x<-\frac16.$$

Ответ

1) $$(-10;10).$$

2) $$(-\infty;-\tfrac16)\cup(\tfrac16;+\infty).$$