Упр.28.159 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) x^2-6bx+8b+1=0; 2) 2x^2+2(b-4)x+b=0.

1. Для того чтобы квадратное уравнение имело два различных действительных корня, нужно, чтобы его дискриминант был положительным: $$D>0.$$

   1) $$x^2-6bx+8b+1=0$$

   Найдём дискриминант:

   $$D=( -6b)^2-4\cdot 1\cdot (8b+1)=36b^2-32b-4.$$

   Требуем:

   $$36b^2-32b-4>0,$$

   $$9b^2-8b-1>0.$$

   Решим квадратное неравенство. Найдём корни уравнения $$9b^2-8b-1=0$$:

   $$D= (-8)^2-4\cdot 9\cdot (-1)=64+36=100,$$

   $$b_{1,2}=\frac{8\pm 10}{18}.$$

   Отсюда

   $$b_1=-\frac{1}{9}, \qquad b_2=1.$$

   Так как старший коэффициент положительный, то

   $$9b^2-8b-1>0 \iff b<-\frac{1}{9}\ \text{или}\ b>1.$$

2. 2) $$2x^2+2(b-4)x+b=0$$

   Найдём дискриминант:

   $$D=\bigl(2(b-4)\bigr)^2-4\cdot 2\cdot b=4(b-4)^2-8b.$$

   Условие двух различных корней:

   $$4(b-4)^2-8b>0,$$

   $$4(b^2-8b+16)-8b>0,$$

   $$4b^2-40b+64>0,$$

   $$b^2-10b+16>0.$$

   Найдём корни уравнения $$b^2-10b+16=0$$:

   $$D=10^2-4\cdot 16=100-64=36,$$

   $$b_{1,2}=\frac{10\pm 6}{2}.$$

   Получаем

   $$b_1=2,\qquad b_2=8.$$

   Тогда

   $$b^2-10b+16>0 \iff b<2\ \text{или}\ b>8.$$

Ответ

1) $$(-\infty;-\tfrac{1}{9})\cup(1;+\infty)$$; 2) $$(-\infty;2)\cup(8;+\infty).$$