Упр.28.152 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.152. Докажите неравенство (1+a+a^2+a^3)^2 < 4(1+a^2+a^4+a^6).

Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$
(1+a+a^2+a^3)^2-4(1+a^2+a^4+a^6).
$$

Сгруппируем слагаемые:

$$
(1+a+a^2+a^3)^2=(1+a)^2(1+a^2)^2,
$$

поэтому

$$
(1+a+a^2+a^3)^2-4(1+a^2+a^4+a^6)
=(1+a)^2(1+a^2)^2-4(1+a^2)(1+a^4).
$$

Вынесем общий множитель:

$$
(1+a^2)\bigl((1+a)^2(1+a^2)-4(1+a^4)\bigr).
$$

Раскроем скобки:

$$
(1+a)^2(1+a^2)-4(1+a^4)
=(1+2a+a^2)(1+a^2)-4-4a^4
$$

$$
=1+2a+2a^2+2a^3+a^4-4-4a^4
=-3a^4+2a^3+2a^2+2a-3.
$$

Разложим многочлен на множители:

$$
-3a^4+2a^3+2a^2+2a-3
=(a-1)^2(-3a^2-4a-3).
$$

Тогда

$$
(1+a+a^2+a^3)^2-4(1+a^2+a^4+a^6)
=(1+a^2)(a-1)^2(-3a^2-4a-3).
$$

Так как

$$
1+a^2>0,\qquad (a-1)^2\ge 0,\qquad -3a^2-4a-3<0
$$

при любом действительном $a$, то

$$
(1+a^2)(a-1)^2(-3a^2-4a-3)\le 0.
$$

Следовательно,

$$
(1+a+a^2+a^3)^2\le 4(1+a^2+a^4+a^6).
$$

Причём равенство возможно только при $a=1$.

Ответ

$$
(1+a+a^2+a^3)^2\le 4(1+a^2+a^4+a^6),
$$
равенство при $a=1$.