Упр.28.151 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.151. Известно, что xy=1, x > 0, a > 0, n > 0. Докажите неравенство ax+by > 2v(ab).

Так как $$xy=1,$$ то $$\sqrt{xy}=1.$$ Умножим неравенство $$ax+by\ge 2\sqrt{ab}$$ на $$\sqrt{xy}$$:

$$ax\cdot 1-2\sqrt{ab\cdot xy}+by\cdot 1\ge 0.$$

Поскольку $$xy=1,$$ получаем

$$ax-2\sqrt{ab}+by\ge 0.$$

Перепишем левую часть в виде квадрата:

$$\left(\sqrt{ax}-\sqrt{by}\right)^2\ge 0.$$

Это верно при любых допустимых значениях переменных, значит исходное неравенство доказано.

Ответ

$$ax+by\ge 2\sqrt{ab}.$$