Упр.28.149 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) x^2+4y^2+6x+4y+10 > 0 при всех действительных значениях x и y.
2) x^2+10xy+26y^2-12y+40 > 0 при всех действительных значениях х и у;
3) ab(a+b) < a^3+b^3, если a < 0, b < 0; 4) m^3+2m^2-4m-8 > 0, если m > 2;
5) (a^2+5)/v(a^2+4) > 2 при всех действительных значениях а.

1. $$x^2+4y^2+6x+4y+10=(x^2+6x+9)+(4y^2+4y+1)= (x+3)^2+(2y+1)^2.$$
   Так как сумма квадратов неотрицательна, то
   $$x^2+4y^2+6x+4y+10\ge 0.$$
   Следовательно, выражение неотрицательно при всех действительных $x$ и $y$.

2. $$x^2+10xy+26y^2-12y+40=(x^2+10xy+25y^2)+(y^2-12y+36)+4$$
   $$=(x+5y)^2+(y-6)^2+4.$$
   Поскольку
   $$(x+5y)^2\ge 0,\quad (y-6)^2\ge 0,$$
   то
   $$x^2+10xy+26y^2-12y+40>0$$
   при всех действительных $x$ и $y$.

3. $$a^3+b^3-ab(a+b)=a^3+b^3-a^2b-ab^2=(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)$$
   $$=(a+b)(a^2-2ab+b^2)=(a+b)(a-b)^2.$$
   Так как $a<0$ и $b<0$, то $a+b<0$, а $$(a-b)^2\ge 0.$$
   Значит,
   $$(a+b)(a-b)^2\le 0,$$
   откуда
   $$ab(a+b)\ge a^3+b^3.$$

4. $$m^3+2m^2-4m-8=(m^3-8)+(2m^2-4m)$$
   $$=(m-2)(m^2+2m+4)+2m(m-2)$$
   $$=(m-2)(m^2+4m+4)=(m-2)(m+2)^2.$$
   При $m>2$ имеем $m-2>0$, а $$(m+2)^2>0,$$
   значит
   $$m^3+2m^2-4m-8>0.$$

5. $$\frac{a^2+5}{\sqrt{a^2+4}}-2=\frac{a^2+4+1}{\sqrt{a^2+4}}-2$$
   $$=\frac{(\sqrt{a^2+4})^2-2\sqrt{a^2+4}+1}{\sqrt{a^2+4}}$$
   $$=\frac{(\sqrt{a^2+4}-1)^2}{\sqrt{a^2+4}}.$$
   Так как $$\sqrt{a^2+4}>0,$$ то
   $$\frac{(\sqrt{a^2+4}-1)^2}{\sqrt{a^2+4}}\ge 0.$$
   Следовательно,
   $$\frac{a^2+5}{\sqrt{a^2+4}}\ge 2.$$

Ответ

1) $$x^2+4y^2+6x+4y+10\ge 0$$; 2) $$x^2+10xy+26y^2-12y+40>0$$; 3) $$ab(a+b)\ge a^3+b^3$$; 4) $$m^3+2m^2-4m-8>0$$; 5) $$\dfrac{a^2+5}{\sqrt{a^2+4}}\ge 2$$.