Упр.28.147 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) имеет единственное решение;
2) имеет два решения;
3) не имеет решений?

Из второго уравнения выразим $$x$$:

$$x=y+a.$$

Подставим в первое уравнение:

$$
(y+a)^2+y^2=16
$$

$$
y^2+2ay+a^2+y^2=16
$$

$$
2y^2+2ay+(a^2-16)=0.
$$

Это квадратное уравнение относительно $$y$$. Число решений системы равно числу его действительных корней. Найдём дискриминант:

$$
D=(2a)^2-4\cdot 2\cdot (a^2-16)
$$

$$
D=4a^2-8a^2+128=128-4a^2=4(32-a^2).
$$

1) Система имеет единственное решение, когда $$D=0$$:

$$
128-4a^2=0
$$

$$
a^2=32
$$

$$
a=\pm 4\sqrt2.
$$

2) Система имеет два решения, когда $$D>0$$:

$$
128-4a^2>0
$$

$$
a^2<32
$$

$$
-4\sqrt2<a<4\sqrt2.
$$

3) Система не имеет решений, когда $$D<0$$:

$$
128-4a^2<0
$$

$$
a^2>32
$$

$$
a<-4\sqrt2 \quad \text{или} \quad a>4\sqrt2.
$$

Ответ

1) $$a=\pm 4\sqrt2$$; 2) $$-4\sqrt2<a<4\sqrt2$$; 3) $$a<-4\sqrt2$$ или $$a>4\sqrt2$$.