Упр.28.145 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) {((x/y)(x^2-2y^2)=4, (y/x)(x^2+2y^2)=3);
2) {(x^2+y^2+2(x+y)=23, x^2+y^2+xy=19);
3) {(x^4+y^4=17, x^2+y^2=5);
4) {(1/(x^2+y^2)+2xy=21/5, 1/(2xy)+x^2+y^2=21/4).

1. $$
   \begin{cases}
   \dfrac{x}{y}(x^2-2y^2)=4,\\
   \dfrac{y}{x}(x^2+2y^2)=3
   \end{cases}
   $$

   Вычтем второе уравнение из первого, предварительно приведя к общему виду:

   $$
   3x^2(x^2-2y^2)-4y^2(x^2+2y^2)=0
   $$

   $$
   3x^4-10x^2y^2-8y^4=0
   $$

   Положим $$t=\left(\dfrac{x}{y}\right)^2$$. Тогда

   $$
   3t^2-10t-8=0
   $$

   $$
   D=100+96=196,\quad t_1=\frac{10-14}{6}=-\frac23,\quad t_2=\frac{10+14}{6}=4
   $$

   Так как $$t=\left(\dfrac{x}{y}\right)^2\ge 0$$, подходит только $$t=4$$, значит $$x^2=4y^2$$, то есть $$x=\pm 2y$$.

   Если $$x=2y$$, то

   $$
   \frac{x}{y}(x^2-2y^2)=2(4y^2-2y^2)=4
   $$

   $$
   4y^2=4,\quad y^2=1
   $$

   Отсюда $$y=\pm 1$$, $$x=\pm 2$$ с тем же знаком.

   Если $$x=-2y$$, получаем противоречие.

2. $$
   \begin{cases}
   x^2+y^2+2(x+y)=23,\\
   x^2+y^2+xy=19
   \end{cases}
   $$

   Вычтем второе уравнение из первого:

   $$
   2x+2y-xy=4
   $$

   $$
   x(2-y)=4-2y=2(2-y)
   $$

   Если $$y\ne 2$$, то $$x=2$$. Подставим:

   $$
   4+y^2+2(2+y)=23
   $$

   $$
   y^2+2y-15=0
   $$

   $$
   (y+5)(y-3)=0
   $$

   $$
   y=-5 \text{ или } y=3
   $$

   Получаем пары $$ (2,-5) $$ и $$ (2,3) $$.

   Если $$y=2$$, то из первого уравнения:

   $$
   x^2+4+2(x+2)=23
   $$

   $$
   x^2+2x-15=0
   $$

   $$
   (x+5)(x-3)=0
   $$

   $$
   x=-5 \text{ или } x=3
   $$

   Получаем пары $$(-5,2)$$ и $$(3,2)$$.

3. $$
   \begin{cases}
   x^4+y^4=17,\\
   x^2+y^2=5
   \end{cases}
   $$

   Используем формулу:

   $$
   x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2
   $$

   Тогда

   $$
   25-2x^2y^2=17
   $$

   $$
   x^2y^2=4
   $$

   $$
   |xy|=2
   $$

   Решаем систему

   $$
   \begin{cases}
   x^2+y^2=5,\\
   xy=\pm 2
   \end{cases}
   $$

   При $$xy=2$$:

   $$
   (x+y)^2=9,\quad x+y=\pm 3
   $$

   Получаем $$x=1,\ y=2$$ или $$x=2,\ y=1$$, а также пары с отрицательными значениями.

   При $$xy=-2$$ аналогично получаем $$(-1,2),\ (1,-2),\ (-2,1),\ (2,-1)$$ и соответствующие перестановки.

4. $$
   \begin{cases}
   \dfrac{1}{x^2+y^2}+2xy=\dfrac{21}{5},\\
   \dfrac{1}{2xy}+x^2+y^2=\dfrac{21}{4}
   \end{cases}
   $$

   Обозначим $$u=x^2+y^2$$, $$v=2xy$$. Тогда система принимает вид

   $$
   \begin{cases}
   \dfrac{1}{u}+v=\dfrac{21}{5},\\
   \dfrac{1}{v}+u=\dfrac{21}{4}
   \end{cases}
   $$

   Из первого уравнения

   $$
   v=\frac{21}{5}-\frac{1}{u}=\frac{21u-5}{5u}
   $$

   Подставим во второе:

   $$
   \frac{5u}{21u-5}+u=\frac{21}{4}
   $$

   $$
   20u+4u(21u-5)=21(21u-5)
   $$

   $$
   84u^2-441u+105=0
   $$

   $$
   4u^2-21u+5=0
   $$

   $$
   (4u-1)(u-5)=0
   $$

   $$
   u=\frac14 \text{ или } u=5
   $$

   При $$u=\frac14$$ получаем $$v=\frac15$$, то есть

   $$
   x^2+y^2=\frac14,\quad 2xy=\frac15
   $$

   Тогда

   $$
   (x+y)^2=\frac14+\frac15=\frac{9}{20},\quad (x-y)^2=\frac14-\frac15=\frac1{20}
   $$

   Отсюда

   $$
   x=\pm \frac{\sqrt5}{10},\quad y=\pm \frac{\sqrt5}{5}
   $$

   При $$u=5$$ получаем $$v=4$$, то есть

   $$
   x^2+y^2=5,\quad 2xy=4
   $$

   Следовательно, $$xy=2$$, и решения:

   $$
   (1,2),\ (2,1),\ (-1,-2),\ (-2,-1)
   $$

Ответ

1) $$( -2,-1),\ (2,1)$$;

2) $$(-5,2),\ (3,2),\ (2,-5),\ (2,3)$$;

3) $$(-2,-1),\ (-2,1),\ (-1,-2),\ (-1,2),\ (1,-2),\ (1,2),\ (2,-1),\ (2,1)$$;

4) $$\left(-\dfrac{\sqrt5}{10},-\dfrac{\sqrt5}{5}\right),\ \left(-\dfrac{\sqrt5}{5},-\dfrac{\sqrt5}{10}\right),\ \left(\dfrac{\sqrt5}{10},\dfrac{\sqrt5}{5}\right),\ \left(\dfrac{\sqrt5}{5},\dfrac{\sqrt5}{10}\right),\ (-2,-1),\ (-1,-2),\ (1,2),\ (2,1)$$.