Упр.28.144 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) {(x+y+xy=4, xy(x+y)=-21);
2) {(x/y-y/x=15/4, 2x-3y=10);
3) {((3x+y)/(x-y)-3(x-y)/(3x+y)=-2, x^2+xy-y^2=-20).

Подробный ответ

Обозначим $$s=x+y,\quad p=xy.$$ Тогда система принимает вид
$$
\begin{cases}
s+p=4,\\
ps=-21.
\end{cases}
$$
Из первого уравнения $$s=4-p$$. Подставим во второе:
$$
p(4-p)=-21
$$
$$
p^2-4p-21=0
$$
$$
(p-7)(p+3)=0
$$
Отсюда $$p=7$$ или $$p=-3$$.
1) Если $$xy=7,$$ то $$x+y=4-7=-3.$$ Тогда числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
$$
t^2+3t+7=0.
$$
$$
D=3^2-4\cdot 7=9-28=-19<0,
$$
значит, действительных решений нет.
2) Если $$xy=-3,$$ то $$x+y=4-(-3)=7.$$ Тогда
$$
t^2-7t-3=0.
$$
$$
D=7^2+4\cdot 3=49+12=61,
$$
$$
t=\frac{7\pm \sqrt{61}}{2}.
$$
Следовательно,
$$
(x,y)=\left(\frac{7-\sqrt{61}}{2},\frac{7+\sqrt{61}}{2}\right),\
\left(\frac{7+\sqrt{61}}{2},\frac{7-\sqrt{61}}{2}\right).
$$
Положим $$u=\frac{x}{y}.$$ Тогда первое уравнение системы:
$$
u-\frac{1}{u}=\frac{15}{4}
$$
Умножим на $$u$$:
$$
4u^2-15u-4=0.
$$
$$
D=15^2+4\cdot 4\cdot 4=225+64=289,
$$
$$
u=\frac{15\pm 17}{8}.
$$
Отсюда $$u_1=4,$$ $$u_2=-\frac14.$$
1) Если $$\frac{x}{y}=4,$$ то $$x=4y.$$ Подставим во второе уравнение:
$$
2x-3y=10
$$
$$
8y-3y=10
$$
$$
5y=10,\quad y=2,\quad x=8.
$$
2) Если $$\frac{x}{y}=-\frac14,$$ то $$x=-\frac{y}{4}.$$ Тогда
$$
2\left(-\frac{y}{4}\right)-3y=10
$$
$$
-\frac{1}{2}y-3y=10
$$
$$
-\frac{7}{2}y=10,\quad y=-\frac{20}{7},\quad x=\frac{5}{7}.
$$
Получаем два решения.
Обозначим
$$
u=\frac{3x+y}{x-y}.
$$
Тогда первое уравнение:
$$
u-\frac{3}{u}=-2
$$
$$
u^2+2u-3=0
$$
$$
(u+3)(u-1)=0.
$$
Значит, $$u=-3$$ или $$u=1.$$
1) Если $$\frac{3x+y}{x-y}=-3,$$ то
$$
3x+y=-3(x-y)
$$
$$
3x+y=-3x+3y
$$
$$
6x=2y,\quad y=3x.
$$
Подставим во второе уравнение:
$$
x^2+xy-y^2=-20
$$
$$
x^2+3x^2-9x^2=-20
$$
$$
-5x^2=-20,\quad x^2=4.
$$
$$
x=\pm 2,\quad y=\pm 6.
$$
2) Если $$\frac{3x+y}{x-y}=1,$$ то
$$
3x+y=x-y
$$
$$
2x+2y=0,\quad y=-x.
$$
Подставим во второе уравнение:
$$
x^2+x(-x)-(-x)^2=-20
$$
$$
-x^2=-20,\quad x^2=20.
$$
$$
x=\pm 2\sqrt{5},\quad y=\mp 2\sqrt{5}.
$$