Упр.28.142 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) {(x^2+2xy+y^2=64, x-y=2); 4) {(3x^2+2y^2=18, 3x^2-2y^2=12);
2) {(9x^2-6xy+y^2=9, 2x^2+2xy-y^2=11); 5) {(xy-y=-12, 5x-xy=1);
3) {(x^2-xy=-6, y^2-xy=22); 6) {(x^2+4y^2=8, xy=2).

1. $$\begin{cases}
   x^2+2xy+y^2=64,\\
   x-y=2
   \end{cases}$$
   Из второго уравнения $$y=x-2$$. Подставим в первое:
   $$x^2+2x(x-2)+(x-2)^2=64,$$
   $$x^2+2x^2-4x+x^2-4x+4=64,$$
   $$4x^2-8x-60=0,$$
   $$x^2-2x-15=0,$$
   $$(x-5)(x+3)=0.$$
   Тогда $$x=5$$ или $$x=-3$$.
   При $$x=5$$ получаем $$y=3$$, при $$x=-3$$ получаем $$y=-5$$.

   $$(-3;\,-5),\ (5;\,3)$$

2. $$\begin{cases}
   9x^2-6xy+y^2=9,\\
   2x^2+2xy-y^2=11
   \end{cases}$$
   Первое уравнение:
   $$\left(3x-y\right)^2=9,$$
   значит
   $$3x-y=3 \quad \text{или} \quad 3x-y=-3.$$

   1) Если $$y=3x-3$$, то
   $$2x^2+2x(3x-3)-(3x-3)^2=11,$$
   $$x^2+12x+20=0,$$
   $$(x+10)(x+2)=0.$$
   Отсюда $$x=-10$$ или $$x=-2$$.
   Тогда соответственно $$y=-33$$ и $$y=-9$$.

   2) Если $$y=3x+3$$, то
   $$2x^2+2x(3x+3)-(3x+3)^2=11,$$
   $$x^2-12x+20=0,$$
   $$(x-10)(x-2)=0.$$
   Отсюда $$x=10$$ или $$x=2$$.
   Тогда соответственно $$y=33$$ и $$y=9$$.

   $$(-10;\,-33),\ (-2;\,-9),\ (2;\,9),\ (10;\,33)$$

3. $$\begin{cases}
   x^2-xy=-6,\\
   y^2-xy=22
   \end{cases}$$
   Сложим уравнения:
   $$x^2-2xy+y^2=16,$$
   $$(x-y)^2=16,$$
   $$x-y=4 \quad \text{или} \quad x-y=-4.$$

   1) Если $$y=x-4$$, то
   $$x^2-x(x-4)=-6,$$
   $$4x=-6,$$
   $$x=-\frac{3}{2}, \quad y=-\frac{11}{2}.$$

   2) Если $$y=x+4$$, то
   $$x^2-x(x+4)=-6,$$
   $$-4x=-6,$$
   $$x=\frac{3}{2}, \quad y=\frac{11}{2}.$$

   $$\left(-\frac{3}{2};\,-\frac{11}{2}\right),\ \left(\frac{3}{2};\,\frac{11}{2}\right)$$

4. $$\begin{cases}
   3x^2+2y^2=18,\\
   3x^2-2y^2=12
   \end{cases}$$
   Сложим уравнения:
   $$6x^2=30,$$
   $$x^2=5,$$
   $$x=\pm\sqrt{5}.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$3\cdot 5+2y^2=18,$$
   $$2y^2=3,$$
   $$y^2=\frac{3}{2},$$
   $$y=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}.$$

   $$\left(-\sqrt{5};\,-\frac{\sqrt{6}}{2}\right),\ \left(-\sqrt{5};\,\frac{\sqrt{6}}{2}\right),\ \left(\sqrt{5};\,-\frac{\sqrt{6}}{2}\right),\ \left(\sqrt{5};\,\frac{\sqrt{6}}{2}\right)$$

5. $$\begin{cases}
   xy-y=-12,\\
   5x-xy=1
   \end{cases}$$
   Сложим уравнения:
   $$5x-y=-11,$$
   $$y=5x+11.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$5x-x(5x+11)=1,$$
   $$5x-5x^2-11x=1,$$
   $$5x^2+6x+1=0,$$
   $$(5x+1)(x+1)=0.$$
   Тогда $$x=-1$$ или $$x=-\frac{1}{5}$$.
   Соответственно,
   $$y=6$$ или $$y=10$$.

   $$(-1;\,6),\ \left(-\frac{1}{5};\,10\right)$$

6. $$\begin{cases}
   x^2+4y^2=8,\\
   xy=2
   \end{cases}$$
   Из второго уравнения
   $$y=\frac{2}{x}, \quad x\ne 0.$$
   Подставим в первое:
   $$x^2+4\left(\frac{2}{x}\right)^2=8,$$
   $$x^2+\frac{16}{x^2}-8=0.$$
   Умножим на $$x^2$$:
   $$x^4-8x^2+16=0,$$
   $$(x^2-4)^2=0,$$
   $$x^2=4,$$
   $$x=\pm 2.$$
   Тогда
   $$y=\frac{2}{x}=\pm 1.$$

   $$(-2;\,-1),\ (2;\,1)$$

Ответ

1) $$(-3;\,-5),\ (5;\,3)$$;
2) $$(-10;\,-33),\ (-2;\,-9),\ (2;\,9),\ (10;\,33)$$;
3) $$\left(-\frac{3}{2};\,-\frac{11}{2}\right),\ \left(\frac{3}{2};\,\frac{11}{2}\right)$$;
4) $$\left(-\sqrt{5};\,-\frac{\sqrt{6}}{2}\right),\ \left(-\sqrt{5};\,\frac{\sqrt{6}}{2}\right),\ \left(\sqrt{5};\,-\frac{\sqrt{6}}{2}\right),\ \left(\sqrt{5};\,\frac{\sqrt{6}}{2}\right)$$;
5) $$(-1;\,6),\ \left(-\frac{1}{5};\,10\right)$$;
6) $$(-2;\,-1),\ (2;\,1)$$