Упр.28.141 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) {(x+y=-4, xy=3); 2) {(x^5 y=32, x^5+y=33).

1. Пусть числа $$x$$ и $$y$$ — корни квадратного уравнения, тогда по теореме, обратной теореме Виета, имеем:

   $$x+y=-4,\quad xy=3.$$

   Составим уравнение:

   $$t^2+4t+3=0.$$

   Разложим на множители:

   $$t^2+4t+3=(t+1)(t+3)=0.$$

   Отсюда $$t_1=-1,\ t_2=-3.$$

   Значит, решения системы:

   $$(-3;\,-1),\ (-1;\,-3).$$

2. Пусть $$x^5$$ и $$y$$ — корни квадратного уравнения. Тогда

   $$x^5y=32,\quad x^5+y=33.$$

   Составим уравнение:

   $$t^2-33t+32=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=33^2-4\cdot 32=1089-128=961,$$

   $$t_{1,2}=\frac{33\pm 31}{2}.$$

   Тогда

   $$t_1=1,\quad t_2=32.$$

   Следовательно,

   $$x^5=1,\ y=32 \quad \text{или} \quad x^5=32,\ y=1.$$

   Отсюда

   $$x=1,\ y=32 \quad \text{или} \quad x=2,\ y=1.$$

Ответ

1) $$(-3;\,-1),\ (-1;\,-3)$$; 2) $$(1;\,32),\ (2;\,1).$$