Упр.28.140 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) {(4x+7y=5, 4x+7y=a) не имеет решений;
2) {(5x+ay=6, 20x-16y=24) имеет бесконечно много решений;
3) {(ax+2y=8, 7x-4y=-18) имеет единственное решение?

1. Система

   $$
   \begin{cases}
   4x+7y=5,\\
   4x+7y=a
   \end{cases}
   $$

   не имеет решений тогда и только тогда, когда левая часть одинакова, а правые части различны. Значит,

   $$a\ne 5.$$

2. Для бесконечно многих решений уравнения системы должны быть пропорциональны:

   $$
   \begin{cases}
   5x+ay=6,\\
   20x-16y=24
   \end{cases}
   $$

   Сравним коэффициенты:

   $$
   \frac{5}{20}=\frac{a}{-16}=\frac{6}{24}.
   $$

   Так как

   $$
   \frac{5}{20}=\frac{6}{24}=\frac14,
   $$

   то

   $$
   \frac{a}{-16}=\frac14,\qquad a=-4.
   $$

3. Система

   $$
   \begin{cases}
   ax+2y=8,\\
   7x-4y=-18
   \end{cases}
   $$

   имеет единственное решение, если определитель системы не равен нулю:

   $$
   \Delta=
   \begin{vmatrix}
   a & 2\\
   7 & -4
   \end{vmatrix}
   =-4a-14\ne 0.
   $$

   Отсюда

   $$
   -4a-14\ne 0,\qquad a\ne -\frac72.
   $$

Ответ

1) $$(-\infty;5)\cup(5;+\infty)$$; 2) $$\{-4\}$$; 3) $$(-\infty;-\frac72)\cup\left(-\frac72;+\infty\right)$$.