Упр.28.139 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.139. Составьте квадратное уравнение, корни которого в 3 раза меньше соответствующих корней уравнения 2x^2-8x+3=0.

Пусть корни уравнения $$2x^2-8x+3=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета:

$$x_1+x_2=\frac{8}{2}=4,$$

$$x_1x_2=\frac{3}{2}.$$

Искомое уравнение должно иметь корни, в 3 раза меньшие, то есть

$$y_1=\frac{x_1}{3}, \quad y_2=\frac{x_2}{3}.$$

Найдём их сумму и произведение:

$$y_1+y_2=\frac{x_1+x_2}{3}=\frac{4}{3},$$

$$y_1y_2=\frac{x_1x_2}{9}=\frac{3/2}{9}=\frac{1}{6}.$$

Тогда квадратное уравнение с такими корнями имеет вид

$$x^2-\frac{4}{3}x+\frac{1}{6}=0.$$

Умножим обе части на $$6$$:

$$6x^2-8x+1=0.$$

Ответ

$$6x^2-8x+1=0.$$