Упр.28.127 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 4/(x-3)-a/2=2; 3) 6/(x^2-16)-1/(x-4)=3a/(4+x).
2) 2x/(2x+a)-(a-2)/(2x-a)-(4a-2a^2)/(4x^2-a^2)=0;

1. $$\frac{4}{x-3}-\frac{a}{2}=2$$

   Умножим уравнение на $$2(x-3)$$:

   $$8-a(x-3)=4(x-3)$$

   $$8-ax+3a=4x-12$$

   $$x(4+a)=20+3a$$

   $$x=\frac{20+3a}{4+a}$$

   Проверим область допустимых значений: $$x\ne 3$$, $$a\ne -4$$.

   Если $$a\ne -4$$, то

   $$x=\frac{20+3a}{4+a}\ne 3$$, так как

   $$20+3a\ne 12+3a.$$

   Значит, при $$a\ne -4$$ найденное значение подходит.

2. $$\frac{2x}{2x+a}-\frac{a-2}{2x-a}-\frac{4a-2a^2}{4x^2-a^2}=0$$

   Заметим, что $$4x^2-a^2=(2x-a)(2x+a)$$. Умножим уравнение на $$4x^2-a^2$$:

   $$2x(2x-a)-(a-2)(2x+a)-(4a-2a^2)=0$$

   $$4x^2-2ax-2ax-a^2+4x+2a-4a+2a^2=0$$

   $$4x^2-4ax+4x+a^2-2a=0$$

   $$4x^2+4(1-a)x+(a^2-2a)=0$$

   Дискриминант:

   $$D=4^2(1-a)^2-4\cdot 4(a^2-2a)=16$$

   Тогда

   $$x_1=\frac{4a-4-4}{8}=\frac{a-2}{2}, \qquad x_2=\frac{4a-4+4}{8}=\frac{a}{2}.$$

   Область допустимых значений:

   $$2x+a\ne 0,\quad 2x-a\ne 0,$$

   то есть $$x\ne -\frac{a}{2}$$ и $$x\ne \frac{a}{2}.$$

   Корень $$x=\frac{a}{2}$$ не подходит, а $$x=\frac{a-2}{2}$$ подходит при $$a\ne 1$$.

3. $$\frac{6}{x^2-16}-\frac{1}{x-4}=\frac{3a}{x+4}$$

   Так как $$x^2-16=(x-4)(x+4)$$, умножим уравнение на $$x^2-16$$:

   $$6-(x+4)=3a(x-4)$$

   $$2-x=3ax-12a$$

   $$x(3a+1)=2+12a$$

   $$x=\frac{2+12a}{3a+1}$$

   ОДЗ: $$x\ne 4$$, $$x\ne -4$$, $$a\ne -\frac13$$.

   Если $$a\ne -\frac14$$, то найденное значение не обращает знаменатели в нуль, и корень подходит.

Ответ

1) $$x=\frac{20+3a}{4+a}$$, если $$a\ne -4$$; при $$a=-4$$ корней нет.

2) $$x=\frac{a-2}{2}$$, если $$a\ne 1$$; при $$a=1$$ корней нет.

3) $$x=\frac{2+12a}{3a+1}$$, если $$a\ne -\frac14$$; при $$a=-\frac14$$ корней нет.