Упр.28.126 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.126. При каких значениях а уравнение ((x-a)(x-4a))/(x+12)=0 имеет единственный корень?

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$\frac{(x-a)(x-4a)}{x+12}=0 \iff \begin{cases}(x-a)(x-4a)=0,\\ x\ne -12.\end{cases}$$

Из числителя получаем два возможных корня:

$$x=a \quad \text{или} \quad x=4a.$$

Чтобы уравнение имело единственный корень, нужно, чтобы один из этих корней не подходил из-за знаменателя, то есть совпадал с $$-12$$.

Рассмотрим случаи:

1) $$a=-12.$$ Тогда корень $$x=a=-12$$ не подходит, а второй корень:

$$x=4a=4\cdot(-12)=-48,$$

остаётся единственным.

2) $$4a=-12,$$ то есть $$a=-3.$$ Тогда корень $$x=4a=-12$$ не подходит, а второй корень:

$$x=a=-3,$$

остаётся единственным.

При других значениях $$a$$ либо оба корня допустимы, либо оба совпадают с $$-12$$, что не даёт единственного корня.

Ответ

$$a=-12,\,-3.$$