Упр.28.123 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) |x+2|+|x-3|=5; 3) |x-3|/(|x-2|-1)=1;
2) |x-1|-2|x-2|+3|x-3|=4; 4) ||3-x|-x+1|+x=6.
$$|x+2|+|x-3|=5$$
Рассмотрим промежутки, на которых знаки выражений под модулем постоянны.
1) Если $$x<-2$$, то
$$-(x+2)-(x-3)=5$$
$$-2x+1=5$$
$$x=-2.$$
Но $$x=-2$$ не подходит условию $$x<-2$$.
2) Если $$-2\le x<3$$, то
$$x+2-(x-3)=5$$
$$5=5.$$
Значит, при всех $$x\in[-2;3)$$ уравнение верно.
3) Если $$x\ge 3$$, то
$$x+2+x-3=5$$
$$2x-1=5$$
$$x=3.$$
Это значение подходит.
Следовательно, $$x\in[-2;3].$$
$$|x-1|-2|x-2|+3|x-3|=4$$
Рассмотрим промежутки.
1) Если $$x<1$$, то
$$-(x-1)-2(-(x-2))+3(-(x-3))=4$$
$$-x+1+2x-4-3x+9=4$$
$$-2x+6=4$$
$$x=1.$$
Но $$x=1$$ не подходит условию $$x<1$$.
2) Если $$1\le x<2$$, то
$$x-1-2(-(x-2))+3(-(x-3))=4$$
$$x-1+2x-4-3x+9=4$$
$$4=4.$$
Значит, все $$x\in[1;2)$$ подходят.
3) Если $$2\le x<3$$, то
$$x-1-2(x-2)+3(-(x-3))=4$$
$$x-1-2x+4-3x+9=4$$
$$-4x+12=4$$
$$x=2.$$
Это значение подходит.
4) Если $$x\ge 3$$, то
$$x-1-2(x-2)+3(x-3)=4$$
$$x-1-2x+4+3x-9=4$$
$$2x-6=4$$
$$x=5.$$
Итак, $$x\in[1;2]\cup\{5\}.$$
$$\frac{|x-3|}{|x-2|-1}=1$$
Область определения:
$$|x-2|-1\ne 0$$
$$|x-2|\ne 1$$
$$x\ne 1,\quad x\ne 3.$$
Решим уравнение по промежуткам.
1) Если $$x<2$$, то
$$\frac{3-x}{2-x-1}=1$$
$$\frac{3-x}{1-x}=1$$
$$3-x=1-x,$$
что невозможно.
2) Если $$2\le x<3$$, то
$$\frac{3-x}{x-2-1}=1$$
$$\frac{3-x}{x-3}=1$$
$$3-x=x-3$$
$$2x=6$$
$$x=3,$$
но $$x=3$$ не входит в область определения.
3) Если $$x\ge 3$$, то
$$\frac{x-3}{x-2-1}=1$$
$$\frac{x-3}{x-3}=1.$$
Это верно при всех $$x>3$$.
Следовательно, $$x\in(3;+\infty).$$
$$||3-x|-x+1|+x=6$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$x<3$$, то $$|3-x|=3-x$$, и получаем
$$|3-x-x+1|+x=6$$
$$|4-2x|+x=6.$$
а) Если $$x<2$$, то $$4-2x>0$$, значит
$$4-2x+x=6$$
$$x=-2.$$
б) Если $$2\le x<3$$, то $$4-2x\le 0$$, значит
$$-(4-2x)+x=6$$
$$-4+3x=6$$
$$x=\frac{10}{3},$$
но это значение не принадлежит промежутку $$[2;3)$$.
2) Если $$x\ge 3$$, то $$|3-x|=x-3$$, и
$$|x-3-x+1|+x=6$$
$$|-2|+x=6$$
$$2+x=6$$
$$x=4.$$
Оба найденных значения подходят.
Следовательно, $$x=-2$$ и $$x=4.$$
Ответ
1) $$[-2;3]$$; 2) $$[1;2]\cup\{5\}$$; 3) $$(3;+\infty)$$; 4) $$-2,\ 4$$.
