Упр.28.122 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (x^2-5x+7)^2-(x-2)(x-3)=1;
2) 5(x^2+2x)^2-11(x^2+2x)(x^2+x+1)+6(x^2+x+1)^2=0;
3) x(x+3)(x+5)(x+8)+36=0;
4) (x^2+x+1)^2=x^2 (3x^2+x+1);
5) x^2+9x^2/(x+3)^2=16.

1. $$\left(x^2-5x+7\right)^2-(x-2)(x-3)=1$$
   $$\left(x^2-5x+7\right)^2-\left(x^2-5x+6\right)=1$$
   Пусть $$y=x^2-5x+7$$, тогда $$x^2-5x+6=y-1$$. Получаем:
   $$y^2-(y-1)=1$$
   $$y^2-y=0$$
   $$y(y-1)=0$$
   Отсюда $$y=0$$ или $$y=1$$.

   1) $$x^2-5x+7=0$$, тогда
   $$D=25-28=-3<0,$$ решений нет.

   2) $$x^2-5x+7=1$$, тогда
   $$x^2-5x+6=0$$
   $$\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0$$
   $$x=2 \text{ или } x=3.$$

2. $$5(x^2+2x)^2-11(x^2+2x)(x^2+x+1)+6(x^2+x+1)^2=0$$
   Пусть
   $$y=\frac{x^2+2x}{x^2+x+1}.$$
   Тогда уравнение принимает вид
   $$5y^2-11y+6=0.$$
   $$D=121-120=1,$$
   $$y_1=1,\quad y_2=\frac65.$$

   1) $$\frac{x^2+2x}{x^2+x+1}=1$$
   $$x^2+2x=x^2+x+1$$
   $$x=1.$$

   2) $$\frac{x^2+2x}{x^2+x+1}=\frac65$$
   $$5(x^2+2x)=6(x^2+x+1)$$
   $$x^2-4x+6=0.$$
   $$D=16-24=-8<0,$$ решений нет.

3. $$x(x+3)(x+5)(x+8)+36=0$$
   $$\left(x^2+8x\right)\left(x^2+8x+15\right)+36=0.$$
   Пусть $$y=x^2+8x$$. Тогда
   $$y(y+15)+36=0$$
   $$y^2+15y+36=0.$$
   $$D=225-144=81,$$
   $$y_1=-12,\quad y_2=-3.$$

   1) $$x^2+8x=-12$$
   $$x^2+8x+12=0$$
   $$\left(x+6\right)\left(x+2\right)=0$$
   $$x=-6 \text{ или } x=-2.$$

   2) $$x^2+8x=-3$$
   $$x^2+8x+3=0$$
   $$D=64-12=52,$$
   $$x=\frac{-8\pm\sqrt{52}}{2}=-4\pm\sqrt{13}.$$

4. $$\left(x^2+x+1\right)^2=x^2(3x^2+x+1)$$
   Перенесём всё в одну сторону:
   $$\left(x^2+x+1\right)^2-x^2(3x^2+x+1)=0.$$
   Пусть $$a=x^2+x+1$$, $$b=x^2$$. Тогда
   $$a^2=b(2b+a).$$
   Получаем:
   $$a^2-ab-2b^2=0.$$
   Рассмотрим как квадратное уравнение относительно $$a$$:
   $$a=\frac{b\pm 3b}{2}.$$
   Значит,
   $$a=-b \quad \text{или} \quad a=2b.$$

   1) $$x^2+x+1=-x^2$$
   $$2x^2+x+1=0,$$
   $$D=1-8=-7<0,$$ решений нет.

   2) $$x^2+x+1=2x^2$$
   $$x^2-x-1=0$$
   $$D=1+4=5,$$
   $$x=\frac{1\pm\sqrt5}{2}.$$

5. $$x^2+\frac{9x^2}{(x+3)^2}=16,$$
   $$x\ne -3.$$
   Обозначим
   $$y=\frac{x^2}{x+3}.$$
   Тогда после преобразований получаем:
   $$y^2+6y-16=0.$$
   $$D=36+64=100,$$
   $$y_1=-8,\quad y_2=2.$$

   1) $$\frac{x^2}{x+3}=-8$$
   $$x^2=-8x-24$$
   $$x^2+8x+24=0,$$
   $$D=64-96=-32<0,$$ решений нет.

   2) $$\frac{x^2}{x+3}=2$$
   $$x^2=2x+6$$
   $$x^2-2x-6=0$$
   $$D=4+24=28,$$
   $$x=\frac{2\pm\sqrt{28}}{2}=1\pm\sqrt7.$$

Ответ

1) $$x=2,\ 3$$;
2) $$x=1$$;
3) $$x=-6,\ -2,\ -4\pm\sqrt{13}$$;
4) $$x=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$$;
5) $$x=1\pm\sqrt7$$.