Упр.28.121 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (x^2+2x)^2-(x+1)^2=55;
2) (x^2+x+4)^2+8x(x^2+x+4)+15x^2=0;
3) x^2+4/x^2+2/x-x=4;
4) ((x+1)/(x-2))^2+(x+1)/(x-4)=12·((x-2)/(x-4))^2;
6) 4x/(x^2+x+3)+5x/(x^2-5x+3)=-3/2;
7) x^2+25x^2/(x+5)^2=11.

1. $$\left(x^2+2x\right)^2-\left(x+1\right)^2=55$$
   $$\left((x+1)^2-1\right)^2-(x+1)^2=55$$
   Пусть $$y=(x+1)^2$$, тогда
   $$\left(y-1\right)^2-y=55$$
   $$y^2-3y-54=0$$
   $$D=3^2+4\cdot 54=225$$
   $$y_{1,2}=\frac{3\pm 15}{2}$$
   $$y_1=-6,\quad y_2=9$$
   Так как $$y=(x+1)^2\ge 0$$, то подходит только $$y=9$$:
   $$\left(x+1\right)^2=9$$
   $$x+1=\pm 3$$
   $$x=-4,\quad x=2$$

2. $$\left(x^2+x+4\right)^2+8x\left(x^2+x+4\right)+15x^2=0$$
   Разделим на $$x^2$$ $$\left(x\ne 0\right)$$:
   $$\left(\frac{x^2+x+4}{x}\right)^2+8\frac{x^2+x+4}{x}+15=0$$
   Пусть $$y=\frac{x^2+x+4}{x}$$, тогда
   $$y^2+8y+15=0$$
   $$\left(y+5\right)\left(y+3\right)=0$$
   $$y=-5 \quad \text{или} \quad y=-3$$
   1) $$\frac{x^2+x+4}{x}=-5$$
   $$x^2+6x+4=0$$
   $$D=36-16=20$$
   $$x=\frac{-6\pm \sqrt{20}}{2}=-3\pm \sqrt{5}$$
   2) $$\frac{x^2+x+4}{x}=-3$$
   $$x^2+4x+4=0$$
   $$\left(x+2\right)^2=0$$
   $$x=-2$$

3. $$x^2+\frac{4}{x^2}+\frac{2}{x}-x=4$$
   Перенесём всё в одну сторону и сгруппируем:
   $$\left(x-\frac{2}{x}\right)^2-\left(x-\frac{2}{x}\right)=0$$
   Пусть $$y=x-\frac{2}{x}$$, тогда
   $$y^2-y=0$$
   $$y\left(y-1\right)=0$$
   $$y=0 \quad \text{или} \quad y=1$$
   1) $$x-\frac{2}{x}=0$$
   $$x^2-2=0$$
   $$x=\pm \sqrt{2}$$
   2) $$x-\frac{2}{x}=1$$
   $$x^2-x-2=0$$
   $$\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0$$
   $$x=2,\quad x=-1$$

4. $$\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^2+\frac{x+1}{x-4}=12\left(\frac{x-2}{x-4}\right)^2$$
   Область допустимых значений:
   $$x\ne 2,\quad x\ne 4$$
   Пусть
   $$a=\frac{x+1}{x-2},\quad b=\frac{x-2}{x-4}$$
   Тогда уравнение сводится к виду
   $$a^2+ab=12b^2$$
   $$a^2+ab-12b^2=0$$
   Рассмотрим как квадратное относительно $$a$$:
   $$a=\frac{-b\pm 7b}{2}$$
   Отсюда
   $$a=3b \quad \text{или} \quad a=-4b$$
   1) $$\frac{x+1}{x-2}=3\frac{x-2}{x-4}$$
   $$\left(x+1\right)\left(x-4\right)=3\left(x-2\right)^2$$
   $$2x^2-8x+16=0$$
   $$x^2-4x+8=0$$
   $$D=16-32<0$$ Решений нет. 2) $$\frac{x+1}{x-2}=-4\frac{x-2}{x-4}$$ $$\left(x+1\right)\left(x-4\right)=-4\left(x-2\right)^2$$ $$5x^2-19x+12=0$$ $$D=19^2-4\cdot 5\cdot 12=121$$ $$x=\frac{19\pm 11}{10}$$ $$x=\frac{4}{5},\quad x=3$$

5. $$\frac{4x}{x^2+x+3}+\frac{5x}{x^2-5x+3}=-\frac{3}{2}$$
   Область допустимых значений: знаменатели не равны нулю.
   Пусть
   $$y=x+\frac{3}{x}$$
   Тогда после преобразований получаем
   $$y^2+2y-15=0$$
   $$\left(y+5\right)\left(y-3\right)=0$$
   $$y=-5 \quad \text{или} \quad y=3$$
   1) $$x+\frac{3}{x}=-5$$
   $$x^2+5x+3=0$$
   $$D=25-12=13$$
   $$x=\frac{-5\pm \sqrt{13}}{2}$$
   2) $$x+\frac{3}{x}=3$$
   $$x^2-3x+3=0$$
   $$D=9-12<0$$ Решений нет.

6. $$x^2+\frac{25x^2}{(x+5)^2}=11$$
   Область допустимых значений:
   $$x\ne -5$$
   Преобразуем:
   $$\left(\frac{x^2}{x+5}\right)^2+10\frac{x^2}{x+5}-11=0$$
   Пусть
   $$y=\frac{x^2}{x+5}$$
   Тогда
   $$y^2+10y-11=0$$
   $$D=100+44=144$$
   $$y_{1,2}=\frac{-10\pm 12}{2}$$
   $$y_1=-11,\quad y_2=1$$
   1) $$\frac{x^2}{x+5}=-11$$
   $$x^2+11x+55=0$$
   $$D=121-220<0$$ Решений нет. 2) $$\frac{x^2}{x+5}=1$$ $$x^2=x+5$$ $$x^2-x-5=0$$ $$D=1+20=21$$ $$x=\frac{1\pm \sqrt{21}}{2}$$

Ответ

1) $$-4,\ 2$$;
2) $$-2,\ -3\pm \sqrt{5}$$;
3) $$-\sqrt{2},\ -1,\ \sqrt{2},\ 2$$;
4) $$\frac{4}{5},\ 3$$;
6) $$\frac{-5\pm \sqrt{13}}{2}$$;
7) $$\frac{1\pm \sqrt{21}}{2}$$.