Упр.28.120 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) 5/(x^2-4x+4)-4/(x^2-4)-1/(x+2)=0;
2) 1+2x/(x+4)+27/(2x^2+7x-4)=6/(2x-1);
3) (x+1)/(x-1)+(x-2)/(x+2)+(x-3)/(x+3)+(x+4)/(x-4)=4;
4) (x^2+4x+4)/(x+4)-(2x+6)/(x+2)=(x^2+x+1)/(x+1)-(2x+9)/(x+3);
5) 3x/(x^3-1)-5/(4x^2+4x+4)=1/(2(1-x));
6) x/(2x^2+12x+10)+(3x+1)/(4x^2+16x-20)-(x+34)/(x^3+5x^2-x-5)=0;
7) (2x-1)/(x+1)+(3x-1)/(x+2)=(x-7)/(x-1)+4;
8) (x^2+2x+2)/(x+1)+(x^2+8x+20)/(x+4)=(x^2+4x+6)/(x+2)+(x^2+6x+12)/(x+3).
$$\frac{5}{x^2-4x+4}-\frac{4}{x^2-4}-\frac{1}{x+2}=0$$
$$\frac{5}{(x-2)^2}-\frac{4}{(x-2)(x+2)}-\frac{1}{x+2}=0$$
Умножим на $$(x-2)^2(x+2)$$:
$$5(x+2)-4(x-2)-(x-2)^2=0$$
$$5x+10-4x+8-x^2+4x-4=0$$
$$x^2-5x-14=0$$
$$\left(x-7\right)\left(x+2\right)=0$$$$x=7 \text{ или } x=-2$$
Но $$x=-2$$ не подходит по ОДЗ, так как $$x+2\ne 0$$. Значит, $$x=7$$.
$$1+\frac{2x}{x+4}+\frac{27}{2x^2+7x-4}=\frac{6}{2x-1}$$
$$2x^2+7x-4=(2x-1)(x+4)$$
Умножим на $$(x+4)(2x-1)$$:
$$(x+4)(2x-1)+2x(2x-1)+27=6(x+4)$$
$$2x^2+7x-4+4x^2-2x+27-6x-24=0$$
$$6x^2-x-1=0$$
$$(3x+1)(2x-1)=0$$$$x=-\frac13 \text{ или } x=\frac12$$
$$x=\frac12$$ не подходит по ОДЗ. Тогда $$x=-\frac13$$.
$$\frac{x+1}{x-1}+\frac{x-2}{x+2}+\frac{x-3}{x+3}+\frac{x+4}{x-4}=4$$
Преобразуем дроби:
$$\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1},\quad \frac{x-2}{x+2}=1-\frac{4}{x+2},$$
$$\frac{x-3}{x+3}=1-\frac{6}{x+3},\quad \frac{x+4}{x-4}=1+\frac{8}{x-4}$$Тогда
$$4+\frac{2}{x-1}-\frac{4}{x+2}-\frac{6}{x+3}+\frac{8}{x-4}=4$$
$$\frac{2}{x-1}-\frac{4}{x+2}-\frac{6}{x+3}+\frac{8}{x-4}=0$$После приведения к общему знаменателю получаем:
$$15x^2+15x-48=0$$$$x=\frac{-15\pm\sqrt{3105}}{30}=\frac{-5\pm\sqrt{345}}{10}$$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
$$\frac{x^2+4x+4}{x+4}-\frac{2x+6}{x+2}=\frac{x^2+x+1}{x+1}-\frac{2x+9}{x+3}$$
Преобразуем:
$$\frac{(x+2)^2}{x+4}-\frac{2(x+3)}{x+2}=\frac{x^2+x+1}{x+1}-\frac{2x+9}{x+3}$$После приведения к общему знаменателю:
$$\frac{3x}{(x+1)(x+4)}=\frac{-x}{(x+2)(x+3)}$$$$3x(x+2)(x+3)=-x(x+1)(x+4)$$
$$3x(x^2+5x+6)=-x(x^2+5x+4)$$
$$4x^3+20x^2+22x=0$$
$$2x(2x^2+10x+11)=0$$$$x=0$$ или $$2x^2+10x+11=0$$
$$D=10^2-4\cdot2\cdot11=12$$
$$x=\frac{-10\pm\sqrt{12}}{4}=\frac{-5\pm\sqrt3}{2}$$Все найденные корни подходят по ОДЗ.
$$\frac{3x}{x^3-1}-\frac{5}{4x^2+4x+4}=\frac{1}{2(1-x)}$$
$$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),\quad 4x^2+4x+4=4(x^2+x+1)$$
Тогда
$$\frac{3x}{(x-1)(x^2+x+1)}-\frac{5}{4(x^2+x+1)}=-\frac{1}{2(x-1)}$$Умножим на $$4(x-1)(x^2+x+1)$$:
$$12x-5(x-1)=-2(x^2+x+1)$$
$$12x-5x+5=-2x^2-2x-2$$
$$2x^2+9x+7=0$$
$$(2x+7)(x+1)=0$$$$x=-\frac72 \text{ или } x=-1$$
Оба корня подходят по ОДЗ.
$$\frac{x}{2x^2+12x+10}+\frac{3x+1}{4x^2+16x-20}-\frac{x+34}{x^3+5x^2-x-5}=0$$
$$2x^2+12x+10=2(x+1)(x+5),\quad 4x^2+16x-20=4(x-1)(x+5)$$
$$x^3+5x^2-x-5=(x-1)(x+1)(x+5)$$Умножим на $$4(x-1)(x+1)(x+5)$$:
$$2x(x-1)+(3x+1)(x+1)-4(x+34)=0$$
$$2x^2-2x+3x^2+4x+1-4x-136=0$$
$$5x^2-2x-135=0$$$$D=4+2700=2704$$
$$x=\frac{2\pm52}{10}$$
$$x=-5 \text{ или } x=\frac{27}{5}$$$$x=-5$$ не подходит по ОДЗ. Значит, $$x=\frac{27}{5}$$.
$$\frac{2x-1}{x+1}+\frac{3x-1}{x+2}=\frac{x-7}{x-1}+4$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(2x-1)(x-1)+(3x-1)(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{x-7+4(x-1)}{x-1}$$После преобразований:
$$\frac{x^2+3x+8}{(x+1)(x-1)}=\frac{x+9}{x+2}$$$$\left(x^2+3x+8\right)(x+2)=\left(x+9\right)(x^2-1)$$
$$4x^2-15x-25=0$$
$$(4x+5)(x-5)=0$$$$x=-\frac54 \text{ или } x=5$$
Оба корня подходят по ОДЗ.
$$\frac{x^2+2x+2}{x+1}+\frac{x^2+8x+20}{x+4}=\frac{x^2+4x+6}{x+2}+\frac{x^2+6x+12}{x+3}$$
Преобразуем дроби:
$$\frac{x^2+2x+2}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1},\quad \frac{x^2+8x+20}{x+4}=x+4+\frac{4}{x+4}$$
$$\frac{x^2+4x+6}{x+2}=x+2+\frac{2}{x+2},\quad \frac{x^2+6x+12}{x+3}=x+3+\frac{3}{x+3}$$Тогда
$$\frac{1}{x+1}+\frac{4}{x+4}=\frac{2}{x+2}+\frac{3}{x+3}$$После приведения к общему знаменателю:
$$2x(2x+5)=0$$$$x=0 \text{ или } x=-\frac52$$
Оба корня подходят по ОДЗ.
Ответ
1) $$7$$; 2) $$-\frac13$$; 3) $$\frac{-5\pm\sqrt{345}}{10}$$; 4) $$0,\ \frac{-5\pm\sqrt3}{2}$$; 5) $$-\frac72,\ -1$$; 6) $$\frac{27}{5}$$; 7) $$-\frac54,\ 5$$; 8) $$0,\ -\frac52$$.
