Упр.28.119 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.119. Попарно разные числа а, b и с таковы, что a+1/b=b+1/c=c+1/a. Докажите, что |abc|=1.

Из условия имеем:

$$a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}.$$

Тогда разности соседних равных выражений равны:

$$a-b=\frac{1}{c}-\frac{1}{b}=\frac{b-c}{bc},$$

$$b-c=\frac{1}{a}-\frac{1}{c}=\frac{c-a}{ac},$$

$$c-a=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{a-b}{ab}.$$

Перемножим эти равенства:

$$ (a-b)(b-c)(c-a)=\frac{(b-c)(c-a)(a-b)}{(abc)^2}. $$

Так как числа $a$, $b$ и $c$ попарно различны, то

$$ (a-b)(b-c)(c-a)\neq 0. $$

Сократим на $(a-b)(b-c)(c-a)$:

$$1=\frac{1}{(abc)^2}.$$

Следовательно,

$$ (abc)^2=1, $$

откуда

$$ |abc|=1. $$

Ответ

$$|abc|=1.$$