Упр.28.118 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.118. Разложите на множители выражение x(y^2-z^2)+y(z^2-x^2)+z(x^2-y^2).

Преобразуем выражение, группируя слагаемые:

$$x(y^2-z^2)+y(z^2-x^2)+z(x^2-y^2)$$

Раскроем разности квадратов:

$$=x(y-z)(y+z)+y(z-x)(z+x)+z(x-y)(x+y)$$

Удобнее разложить по группам:

$$x(y^2-z^2)+y(z^2-x^2)+z(x^2-y^2)$$

$$=(y-z)x^2+(y^2-z^2)x+yz^2-y^2z$$

Вынесем общий множитель:

$$=(z-y)x^2+(y^2-z^2)x+yz^2-y^2z$$

$$=(z-y)\bigl(x^2-(z+y)x+yz\bigr)$$

Теперь разложим квадратный трёхчлен:

$$x^2-(z+y)x+yz=(x-y)(x-z)$$

Тогда

$$x(y^2-z^2)+y(z^2-x^2)+z(x^2-y^2)=(z-y)(x-y)(x-z)$$

Можно записать и в другом порядке множителей:

$$=(y-z)(x-y)(x-z)$$

Ответ

$$\bigl(y-z\bigr)\bigl(x-y\bigr)\bigl(x-z\bigr)$$